Theorem cnmptc 14602

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptc.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptc.p	|- ( ph -> P e. Y )

Assertion

Ref	Expression
cnmptc	|- ( ph -> ( x e. X |-> P ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, Y   x, K   x, P

Proof of Theorem cnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 4711	. 2 |- ( X X. { P } ) = ( x e. X |-> P )
2		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmptc.k	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmptc.p	. . 3 |- ( ph -> P e. Y )
5		cnconst2 14553	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. Y ) -> ( X X. { P } ) e. ( J Cn K ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( X X. { P } ) e. ( J Cn K ) )
7	1, 6	eqeltrrid 2284	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> P ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   {csn 3623   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-topgen 12962  df-top 14318  df-topon 14331  df-cn 14508  df-cnp 14509

This theorem is referenced by:  cnmpt2c  14610  imasnopn  14619  fsumcncntop  14887  expcn  14889  plycn  15082