Theorem cnmptc 15383

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptc.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptc.p	|- ( ph -> P e. Y )

Assertion

Ref	Expression
cnmptc	|- ( ph -> ( x e. X |-> P ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, Y   x, K   x, P

Proof of Theorem cnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 4822	. 2 |- ( X X. { P } ) = ( x e. X |-> P )
2		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmptc.k	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmptc.p	. . 3 |- ( ph -> P e. Y )
5		cnconst2 15334	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. Y ) -> ( X X. { P } ) e. ( J Cn K ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( X X. { P } ) e. ( J Cn K ) )
7	1, 6	eqeltrrid 2326	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> P ) e. ( J Cn K ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   {csn 3709   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   ` cfv 5377  (class class class)co 6085  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-topgen 13614  df-top 15099  df-topon 15112  df-cn 15289  df-cnp 15290

This theorem is used by:  cnmpt2c  15391  imasnopn  15400  fsumcncntop  15668  expcn  15670  plycn  15863