Theorem cnmptc 13867

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptc.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptc.p	|- ( ph -> P e. Y )

Assertion

Ref	Expression
cnmptc	|- ( ph -> ( x e. X |-> P ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, Y   x, K   x, P

Proof of Theorem cnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 4675	. 2 |- ( X X. { P } ) = ( x e. X |-> P )
2		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmptc.k	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmptc.p	. . 3 |- ( ph -> P e. Y )
5		cnconst2 13818	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. Y ) -> ( X X. { P } ) e. ( J Cn K ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( X X. { P } ) e. ( J Cn K ) )
7	1, 6	eqeltrrid 2265	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> P ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   {csn 3594   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-cn 13773  df-cnp 13774

This theorem is referenced by:  cnmpt2c  13875  imasnopn  13884  fsumcncntop  14141