Theorem cnmpt2c 13652

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt2c.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt2c.p	|- ( ph -> P e. Z )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2c	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> P ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, P, y   x, Y, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2c

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2178	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> P = P )
2	1	mpompt 5963	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> P ) = ( x e. X , y e. Y |-> P )
3		cnmpt21.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4		cnmpt21.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 13624	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7		cnmpt2c.l	. . 3 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
8		cnmpt2c.p	. . 3 |- ( ph -> P e. Z )
9	6, 7, 8	cnmptc 13644	. 2 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> P ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
10	2, 9	eqeltrrid 2265	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> P ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   |-> cmpt 4063   X. cxp 4623   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   e. cmpo 5873  TopOnctopon 13370   Cn ccn 13547   tX ctx 13614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-map 6646  df-topgen 12696  df-top 13358  df-topon 13371  df-bases 13403  df-cn 13550  df-cnp 13551  df-tx 13615

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  13955