Theorem cnmpt2c 14247

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt2c.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt2c.p	|- ( ph -> P e. Z )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2c	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> P ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, P, y   x, Y, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2c

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2190	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> P = P )
2	1	mpompt 5988	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> P ) = ( x e. X , y e. Y |-> P )
3		cnmpt21.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4		cnmpt21.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 14219	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7		cnmpt2c.l	. . 3 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
8		cnmpt2c.p	. . 3 |- ( ph -> P e. Z )
9	6, 7, 8	cnmptc 14239	. 2 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> P ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
10	2, 9	eqeltrrid 2277	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> P ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   |-> cmpt 4079   X. cxp 4642   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   e. cmpo 5898  TopOnctopon 13967   Cn ccn 14142   tX ctx 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-map 6676  df-topgen 12765  df-top 13955  df-topon 13968  df-bases 14000  df-cn 14145  df-cnp 14146  df-tx 14210

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  14550