Theorem decaddc2 9760

Description: Add two numerals M and N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decaddc.e	|- ( ( A + C ) + 1 ) = E
decaddc2.t	|- ( B + D ) = ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
decaddc2	|- ( M + N ) = ; E 0

Proof of Theorem decaddc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decma.a	. 2 |- A e. NN0
2		decma.b	. 2 |- B e. NN0
3		decma.c	. 2 |- C e. NN0
4		decma.d	. 2 |- D e. NN0
5		decma.m	. 2 |- M = ; A B
6		decma.n	. 2 |- N = ; C D
7		decaddc.e	. 2 |- ( ( A + C ) + 1 ) = E
8		0nn0 9507	. 2 |- 0 e. NN0
9		decaddc2.t	. 2 |- ( B + D ) = ; 1 0
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	decaddc 9759	1 |- ( M + N ) = ; E 0

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6049   0cc0 8123   1c1 8124   + caddc 8126   NN0cn0 9492  ;cdc 9705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706

This theorem is referenced by: (None)