Theorem decaddc2 9506

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decaddc.e	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
decaddc2.t	⊢ (𝐵 + 𝐷) = ;10

Assertion

Ref	Expression
decaddc2	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸0

Proof of Theorem decaddc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decma.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decma.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decma.c	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		decma.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		decma.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6		decma.n	. 2 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
7		decaddc.e	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
8		0nn0 9258	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		decaddc2.t	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ;10
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	decaddc 9505	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸0

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877  ℕ₀cn0 9243  ;cdc 9451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-dec 9452

This theorem is referenced by: (None)