Theorem decaddc 9540

Description: Add two numerals M and N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decaddc.e	|- ( ( A + C ) + 1 ) = E
decaddc.f	|- F e. NN0
decaddc.2	|- ( B + D ) = ; 1 F

Assertion

Ref	Expression
decaddc	|- ( M + N ) = ; E F

Proof of Theorem decaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9503	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 9489	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2225	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 9489	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2225	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decaddc.f	. . 3 |- F e. NN0
13		decaddc.e	. . 3 |- ( ( A + C ) + 1 ) = E
14		decaddc.2	. . . 4 |- ( B + D ) = ; 1 F
15		dfdec10 9489	. . . 4 |- ; 1 F = ( (; 1 0 x. 1 ) + F )
16	14, 15	eqtri 2225	. . 3 |- ( B + D ) = ( (; 1 0 x. 1 ) + F )
17	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16	numaddc 9533	. 2 |- ( M + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
18		dfdec10 9489	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
19	17, 18	eqtr4i 2228	1 |- ( M + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5934   0cc0 7907   1c1 7908   + caddc 7910   x. cmul 7912   NN0cn0 9277  ;cdc 9486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-dec 9487

This theorem is referenced by:  decaddc2  9541  decaddci  9546  2exp16  12679