ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddc Unicode version

Theorem decaddc 9248
Description: Add two numerals  M and  N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a  |-  A  e. 
NN0
decma.b  |-  B  e. 
NN0
decma.c  |-  C  e. 
NN0
decma.d  |-  D  e. 
NN0
decma.m  |-  M  = ; A B
decma.n  |-  N  = ; C D
decaddc.e  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
decaddc.f  |-  F  e. 
NN0
decaddc.2  |-  ( B  +  D )  = ; 1 F
Assertion
Ref Expression
decaddc  |-  ( M  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decaddc
StepHypRef Expression
1 10nn0 9211 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN0
2 decma.a . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.b . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.c . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.d . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.m . . . 4  |-  M  = ; A B
7 dfdec10 9197 . . . 4  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2160 . . 3  |-  M  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
9 decma.n . . . 4  |-  N  = ; C D
10 dfdec10 9197 . . . 4  |- ; C D  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2160 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
12 decaddc.f . . 3  |-  F  e. 
NN0
13 decaddc.e . . 3  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
14 decaddc.2 . . . 4  |-  ( B  +  D )  = ; 1 F
15 dfdec10 9197 . . . 4  |- ; 1 F  =  ( (; 1 0  x.  1 )  +  F )
1614, 15eqtri 2160 . . 3  |-  ( B  +  D )  =  ( (; 1 0  x.  1 )  +  F )
171, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16numaddc 9241 . 2  |-  ( M  +  N )  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  F )
18 dfdec10 9197 . 2  |- ; E F  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  F )
1917, 18eqtr4i 2163 1  |-  ( M  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637   NN0cn0 8989  ;cdc 9194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-9 8798  df-n0 8990  df-dec 9195
This theorem is referenced by:  decaddc2  9249  decaddci  9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator