Theorem decrmanc 9507

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	|- A e. NN0
decrmanc.b	|- B e. NN0
decrmanc.n	|- N e. NN0
decrmanc.m	|- M = ; A B
decrmanc.p	|- P e. NN0
decrmanc.e	|- ( A x. P ) = E
decrmanc.f	|- ( ( B x. P ) + N ) = F

Assertion

Ref	Expression
decrmanc	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decrmanc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 |- A e. NN0
2		decrmanc.b	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9258	. 2 |- 0 e. NN0
4		decrmanc.n	. 2 |- N e. NN0
5		decrmanc.m	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9472	. 2 |- N = ; 0 N
7		decrmanc.p	. 2 |- P e. NN0
8	1, 7	nn0mulcli 9281	. . . . 5 |- ( A x. P ) e. NN0
9	8	nn0cni 9255	. . . 4 |- ( A x. P ) e. CC
10	9	addid1i 8163	. . 3 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = ( A x. P )
11		decrmanc.e	. . 3 |- ( A x. P ) = E
12	10, 11	eqtri 2214	. 2 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = E
13		decrmanc.f	. 2 |- ( ( B x. P ) + N ) = F
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13	decma 9501	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   0cc0 7874   + caddc 7877   x. cmul 7879   NN0cn0 9243  ;cdc 9451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-dec 9452

This theorem is referenced by: (None)