ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decrmanc Unicode version

Theorem decrmanc 9262
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a  |-  A  e. 
NN0
decrmanc.b  |-  B  e. 
NN0
decrmanc.n  |-  N  e. 
NN0
decrmanc.m  |-  M  = ; A B
decrmanc.p  |-  P  e. 
NN0
decrmanc.e  |-  ( A  x.  P )  =  E
decrmanc.f  |-  ( ( B  x.  P )  +  N )  =  F
Assertion
Ref Expression
decrmanc  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decrmanc
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2  |-  A  e. 
NN0
2 decrmanc.b . 2  |-  B  e. 
NN0
3 0nn0 9016 . 2  |-  0  e.  NN0
4 decrmanc.n . 2  |-  N  e. 
NN0
5 decrmanc.m . 2  |-  M  = ; A B
64dec0h 9227 . 2  |-  N  = ; 0 N
7 decrmanc.p . 2  |-  P  e. 
NN0
81, 7nn0mulcli 9039 . . . . 5  |-  ( A  x.  P )  e. 
NN0
98nn0cni 9013 . . . 4  |-  ( A  x.  P )  e.  CC
109addid1i 7928 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  0 )  =  ( A  x.  P
)
11 decrmanc.e . . 3  |-  ( A  x.  P )  =  E
1210, 11eqtri 2161 . 2  |-  ( ( A  x.  P )  +  0 )  =  E
13 decrmanc.f . 2  |-  ( ( B  x.  P )  +  N )  =  F
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13decma 9256 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5782   0cc0 7644    + caddc 7647    x. cmul 7649   NN0cn0 9001  ;cdc 9206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-dec 9207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator