Theorem decrmanc 9504

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	|- A e. NN0
decrmanc.b	|- B e. NN0
decrmanc.n	|- N e. NN0
decrmanc.m	|- M = ; A B
decrmanc.p	|- P e. NN0
decrmanc.e	|- ( A x. P ) = E
decrmanc.f	|- ( ( B x. P ) + N ) = F

Assertion

Ref	Expression
decrmanc	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decrmanc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 |- A e. NN0
2		decrmanc.b	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9255	. 2 |- 0 e. NN0
4		decrmanc.n	. 2 |- N e. NN0
5		decrmanc.m	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9469	. 2 |- N = ; 0 N
7		decrmanc.p	. 2 |- P e. NN0
8	1, 7	nn0mulcli 9278	. . . . 5 |- ( A x. P ) e. NN0
9	8	nn0cni 9252	. . . 4 |- ( A x. P ) e. CC
10	9	addid1i 8161	. . 3 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = ( A x. P )
11		decrmanc.e	. . 3 |- ( A x. P ) = E
12	10, 11	eqtri 2214	. 2 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = E
13		decrmanc.f	. 2 |- ( ( B x. P ) + N ) = F
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13	decma 9498	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   0cc0 7872   + caddc 7875   x. cmul 7877   NN0cn0 9240  ;cdc 9448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-dec 9449

This theorem is referenced by: (None)