Theorem dfn2 9152

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9140	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	difeq1i 3242	. 2 ⊢ (ℕ0 ∖ {0}) = ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0})
3		difun2 3495	. 2 ⊢ ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0}) = (ℕ ∖ {0})
4		0nnn 8909	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
5		difsn 3718	. . 3 ⊢ (¬ 0 ∈ ℕ → (ℕ ∖ {0}) = ℕ)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∖ {0}) = ℕ
7	2, 3, 6	3eqtrri 2197	1 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1349   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3119   ∪ cun 3120  {csn 3584  0cc0 7778  ℕcn 8882  ℕ₀cn0 9139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1re 7872  ax-addrcl 7875  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-xp 4618  df-cnv 4620  df-iota 5162  df-fv 5208  df-ov 5860  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-inn 8883  df-n0 9140

This theorem is referenced by:  elnnne0  9153  nn0supp  9191  facnn  10665  fac0  10666  fzo0dvdseq  11821