ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfn2 GIF version

Theorem dfn2 8749
Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfn2 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Proof of Theorem dfn2
StepHypRef Expression
1 df-n0 8737 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
21difeq1i 3117 . 2 (ℕ0 ∖ {0}) = ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0})
3 difun2 3368 . 2 ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0}) = (ℕ ∖ {0})
4 0nnn 8512 . . 3 ¬ 0 ∈ ℕ
5 difsn 3582 . . 3 (¬ 0 ∈ ℕ → (ℕ ∖ {0}) = ℕ)
64, 5ax-mp 7 . 2 (ℕ ∖ {0}) = ℕ
72, 3, 63eqtrri 2114 1 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1290  wcel 1439  cdif 2999  cun 3000  {csn 3452  0cc0 7413  cn 8485  0cn0 8736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1re 7502  ax-addrcl 7505  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-xp 4460  df-cnv 4462  df-iota 4995  df-fv 5038  df-ov 5671  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-inn 8486  df-n0 8737
This theorem is referenced by:  elnnne0  8750  nn0supp  8788  facnn  10198  fac0  10199  fzo0dvdseq  11199
  Copyright terms: Public domain W3C validator