Theorem dfn2 9189

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9177	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	difeq1i 3250	. 2 ⊢ (ℕ0 ∖ {0}) = ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0})
3		difun2 3503	. 2 ⊢ ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0}) = (ℕ ∖ {0})
4		0nnn 8946	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
5		difsn 3730	. . 3 ⊢ (¬ 0 ∈ ℕ → (ℕ ∖ {0}) = ℕ)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∖ {0}) = ℕ
7	2, 3, 6	3eqtrri 2203	1 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∖ cdif 3127   ∪ cun 3128  {csn 3593  0cc0 7811  ℕcn 8919  ℕ₀cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  elnnne0  9190  nn0supp  9228  facnn  10707  fac0  10708  fzo0dvdseq  11863