Theorem dfn2 8749

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8737	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	difeq1i 3117	. 2 ⊢ (ℕ0 ∖ {0}) = ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0})
3		difun2 3368	. 2 ⊢ ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0}) = (ℕ ∖ {0})
4		0nnn 8512	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
5		difsn 3582	. . 3 ⊢ (¬ 0 ∈ ℕ → (ℕ ∖ {0}) = ℕ)
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ (ℕ ∖ {0}) = ℕ
7	2, 3, 6	3eqtrri 2114	1 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   ∖ cdif 2999   ∪ cun 3000  {csn 3452  0cc0 7413  ℕcn 8485  ℕ₀cn0 8736

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1re 7502  ax-addrcl 7505  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-xp 4460  df-cnv 4462  df-iota 4995  df-fv 5038  df-ov 5671  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-inn 8486  df-n0 8737

This theorem is referenced by:  elnnne0  8750  nn0supp  8788  facnn  10198  fac0  10199  fzo0dvdseq  11199