Theorem facnn 10363

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Proof of Theorem facnn

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 7681	. . 3 |- 0 e. _V
2		1ex 7682	. . 3 |- 1 e. _V
3		df-fac 10362	. . . 4 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
4		nnuz 9260	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 8891	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2137	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 4774	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		eqid 2115	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 8982	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
10		fvi 5432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
11	10	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	11	ibir 176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		eluzelcn 9236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
15	14	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
16		mulcl 7668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
17	16	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
18	8, 9, 15, 17	seqf 10124	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` 1 ) --> CC )
19	18	ffnd 5231	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
20	19	mptru 1323	. . . . . . 7 |- seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
21		fnresdm 5190	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I ) )
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I )
23	7, 22	eqtr3i 2137	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I )
24	23	uneq2i 3193	. . . 4 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
25	3, 24	eqtr4i 2138	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
26	1, 2, 25	fvsnun2 5572	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
27	26, 5	eleq2s 2209	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   T. wtru 1315   e. wcel 1463   \ cdif 3034   u. cun 3035   {csn 3493   <.cop 3496   _I cid 4170   |` cres 4501   Fn wfn 5076   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7542   0cc0 7544   1c1 7545   x. cmul 7549   NNcn 8627   NN0cn0 8878   ZZ>=cuz 9225   seqcseq 10108   !cfa 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-ltadd 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-seqfrec 10109  df-fac 10362

This theorem is referenced by:  fac1  10365  facp1  10366  bcval5  10399