Theorem facnn 11143

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Proof of Theorem facnn

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8310	. . 3 |- 0 e. _V
2		1ex 8311	. . 3 |- 1 e. _V
3		df-fac 11142	. . . 4 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
4		nnuz 9937	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 9555	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2261	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 5055	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 9650	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
10		fvi 5754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
11	10	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		eluzelcn 9912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
16		mulcl 8296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
18	8, 9, 15, 17	seqf 10879	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` 1 ) --> CC )
19	18	ffnd 5529	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
20	19	mptru 1411	. . . . . . 7 |- seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
21		fnresdm 5487	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I )
23	7, 22	eqtr3i 2261	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I )
24	23	uneq2i 3380	. . . 4 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
25	3, 24	eqtr4i 2262	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
26	1, 2, 25	fvsnun2 5904	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
27	26, 5	eleq2s 2333	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   {csn 3705   <.cop 3708   _I cid 4428   |` cres 4771   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZ>=cuz 9900   seqcseq 10862   !cfa 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-fac 11142

This theorem is referenced by:  fac1  11145  facp1  11146  bcval5  11179  logfac  15918