Theorem facnn 11052

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Proof of Theorem facnn

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8233	. . 3 |- 0 e. _V
2		1ex 8234	. . 3 |- 1 e. _V
3		df-fac 11051	. . . 4 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
4		nnuz 9853	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 9474	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2254	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 5016	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 9567	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
10		fvi 5712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
11	10	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		eluzelcn 9828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
16		mulcl 8219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
18	8, 9, 15, 17	seqf 10789	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` 1 ) --> CC )
19	18	ffnd 5490	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
20	19	mptru 1407	. . . . . . 7 |- seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
21		fnresdm 5448	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I )
23	7, 22	eqtr3i 2254	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I )
24	23	uneq2i 3360	. . . 4 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
25	3, 24	eqtr4i 2255	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
26	1, 2, 25	fvsnun2 5860	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
27	26, 5	eleq2s 2326	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   \ cdif 3198   u. cun 3199   {csn 3673   <.cop 3676   _I cid 4391   |` cres 4733   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   x. cmul 8097   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZ>=cuz 9816   seqcseq 10772   !cfa 11050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-seqfrec 10773  df-fac 11051

This theorem is referenced by:  fac1  11054  facp1  11055  bcval5  11088