Theorem facnn 11114

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Proof of Theorem facnn

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8284	. . 3 |- 0 e. _V
2		1ex 8285	. . 3 |- 1 e. _V
3		df-fac 11113	. . . 4 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
4		nnuz 9908	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 9526	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2257	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 5040	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
10		fvi 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
11	10	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		eluzelcn 9883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
16		mulcl 8270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
18	8, 9, 15, 17	seqf 10850	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` 1 ) --> CC )
19	18	ffnd 5514	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
20	19	mptru 1407	. . . . . . 7 |- seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
21		fnresdm 5472	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I )
23	7, 22	eqtr3i 2257	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I )
24	23	uneq2i 3374	. . . 4 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
25	3, 24	eqtr4i 2258	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
26	1, 2, 25	fvsnun2 5887	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
27	26, 5	eleq2s 2329	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   \ cdif 3211   u. cun 3212   {csn 3694   <.cop 3697   _I cid 4414   |` cres 4756   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZ>=cuz 9871   seqcseq 10833   !cfa 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-fac 11113

This theorem is referenced by:  fac1  11116  facp1  11117  bcval5  11150