ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 11882
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 10175 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 10166 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoel2 10165 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
4 zltnle 9318 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
61, 5mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
76adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  A  <_  B )
83adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
9 elfzonn0 10205 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
109adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
11 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
12 eldifsn 3734 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1310, 11, 12sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
14 dfn2 9208 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1513, 14eleqtrrdi 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
16 dvdsle 11869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
1817impancom 260 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( B  =/=  0  ->  A  <_  B ) )
197, 18mtod 664 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  B  =/=  0 )
20 0z 9283 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
21 zdceq 9347 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  B  =  0 )
2220, 21mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  -> DECID  B  =  0
)
23 nnedc 2365 . . . . . . 7  |-  (DECID  B  =  0  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2625adantr 276 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
2719, 26mpbid 147 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  B  =  0 )
2827ex 115 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
29 dvds0 11832 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
303, 29syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
31 breq2 4022 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
3230, 31syl5ibrcom 157 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
3328, 32impbid 129 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360    \ cdif 3141   {csn 3607   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   0cc0 7830    < clt 8011    <_ cle 8012   NNcn 8938   NN0cn0 9195   ZZcz 9272  ..^cfzo 10161    || cdvds 11813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-dvds 11814
This theorem is referenced by:  fzocongeq  11883
  Copyright terms: Public domain W3C validator