ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 11761
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 10064 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 10055 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoel2 10054 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
4 zltnle 9218 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
61, 5mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
76adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  A  <_  B )
83adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
9 elfzonn0 10094 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
109adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
11 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
12 eldifsn 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1310, 11, 12sylanbrc 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
14 dfn2 9108 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1513, 14eleqtrrdi 2251 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
16 dvdsle 11748 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
178, 15, 16syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
1817impancom 258 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( B  =/=  0  ->  A  <_  B ) )
197, 18mtod 653 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  B  =/=  0 )
20 0z 9183 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
21 zdceq 9244 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  B  =  0 )
2220, 21mpan2 422 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  -> DECID  B  =  0
)
23 nnedc 2332 . . . . . . 7  |-  (DECID  B  =  0  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2625adantr 274 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
2719, 26mpbid 146 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  B  =  0 )
2827ex 114 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
29 dvds0 11713 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
303, 29syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
31 breq2 3971 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
3230, 31syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
3328, 32impbid 128 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327    \ cdif 3099   {csn 3561   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   0cc0 7734    < clt 7914    <_ cle 7915   NNcn 8838   NN0cn0 9095   ZZcz 9172  ..^cfzo 10050    || cdvds 11694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-dvds 11695
This theorem is referenced by:  fzocongeq  11762
  Copyright terms: Public domain W3C validator