Theorem fzo0dvdseq 12022

Description: Zero is the only one of the first A nonnegative integers that is divisible by A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	|- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10232	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B < A )
2		elfzoelz 10222	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. ZZ )
3		elfzoel2 10221	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A e. ZZ )
4		zltnle 9372	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> -. A <_ B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. A <_ B )
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> A e. ZZ )
9		elfzonn0 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B =/= 0 )
12		eldifsn 3749	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( B e. NN0 /\ B =/= 0 ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. ( NN0 \ { 0 } ) )
14		dfn2 9262	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
15	13, 14	eleqtrrdi 2290	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN )
16		dvdsle 12009	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
18	17	impancom 260	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( B =/= 0 -> A <_ B ) )
19	7, 18	mtod 664	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. B =/= 0 )
20		0z 9337	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
21		zdceq 9401	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID B = 0 )
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> DECID B = 0 )
23		nnedc 2372	. . . . . . 7 |- (DECID B = 0 -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> B = 0 )
28	27	ex 115	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B -> B = 0 ) )
29		dvds0 11971	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A || 0 )
30	3, 29	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A || 0 )
31		breq2 4037	. . 3 |- ( B = 0 -> ( A || B <-> A || 0 ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B = 0 -> A || B ) )
33	28, 32	impbid 129	1 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3622   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   0cc0 7879   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326  ..^cfzo 10217   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12023