Theorem fzo0dvdseq 11999

Description: Zero is the only one of the first A nonnegative integers that is divisible by A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	|- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10223	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B < A )
2		elfzoelz 10213	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. ZZ )
3		elfzoel2 10212	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A e. ZZ )
4		zltnle 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> -. A <_ B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. A <_ B )
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> A e. ZZ )
9		elfzonn0 10253	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B =/= 0 )
12		eldifsn 3745	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( B e. NN0 /\ B =/= 0 ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. ( NN0 \ { 0 } ) )
14		dfn2 9253	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
15	13, 14	eleqtrrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN )
16		dvdsle 11986	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
18	17	impancom 260	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( B =/= 0 -> A <_ B ) )
19	7, 18	mtod 664	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. B =/= 0 )
20		0z 9328	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
21		zdceq 9392	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID B = 0 )
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> DECID B = 0 )
23		nnedc 2369	. . . . . . 7 |- (DECID B = 0 -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> B = 0 )
28	27	ex 115	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B -> B = 0 ) )
29		dvds0 11949	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A || 0 )
30	3, 29	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A || 0 )
31		breq2 4033	. . 3 |- ( B = 0 -> ( A || B <-> A || 0 ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B = 0 -> A || B ) )
33	28, 32	impbid 129	1 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   \ cdif 3150   {csn 3618   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   0cc0 7872   < clt 8054   <_ cle 8055   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317  ..^cfzo 10208   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12000