Theorem fzo0dvdseq 11865

Description: Zero is the only one of the first A nonnegative integers that is divisible by A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	|- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10158	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B < A )
2		elfzoelz 10149	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. ZZ )
3		elfzoel2 10148	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A e. ZZ )
4		zltnle 9301	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> -. A <_ B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. A <_ B )
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> A e. ZZ )
9		elfzonn0 10188	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B =/= 0 )
12		eldifsn 3721	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( B e. NN0 /\ B =/= 0 ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. ( NN0 \ { 0 } ) )
14		dfn2 9191	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
15	13, 14	eleqtrrdi 2271	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN )
16		dvdsle 11852	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
18	17	impancom 260	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( B =/= 0 -> A <_ B ) )
19	7, 18	mtod 663	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. B =/= 0 )
20		0z 9266	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
21		zdceq 9330	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID B = 0 )
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> DECID B = 0 )
23		nnedc 2352	. . . . . . 7 |- (DECID B = 0 -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> B = 0 )
28	27	ex 115	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B -> B = 0 ) )
29		dvds0 11815	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A || 0 )
30	3, 29	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A || 0 )
31		breq2 4009	. . 3 |- ( B = 0 -> ( A || B <-> A || 0 ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B = 0 -> A || B ) )
33	28, 32	impbid 129	1 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813   < clt 7994   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255  ..^cfzo 10144   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  fzocongeq  11866