Theorem fzo0dvdseq 12602

Description: Zero is the only one of the first A nonnegative integers that is divisible by A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	|- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10542	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B < A )
2		elfzoelz 10532	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. ZZ )
3		elfzoel2 10531	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A e. ZZ )
4		zltnle 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> -. A <_ B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. A <_ B )
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> A e. ZZ )
9		elfzonn0 10576	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B =/= 0 )
12		eldifsn 3836	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( B e. NN0 /\ B =/= 0 ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. ( NN0 \ { 0 } ) )
14		dfn2 9555	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
15	13, 14	eleqtrrdi 2332	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN )
16		dvdsle 12589	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
18	17	impancom 260	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( B =/= 0 -> A <_ B ) )
19	7, 18	mtod 673	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. B =/= 0 )
20		0z 9634	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
21		zdceq 9699	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID B = 0 )
22	20, 21	mpan2 429	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> DECID B = 0 )
23		nnedc 2425	. . . . . . 7 |- (DECID B = 0 -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> B = 0 )
28	27	ex 115	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B -> B = 0 ) )
29		dvds0 12551	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A || 0 )
30	3, 29	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A || 0 )
31		breq2 4129	. . 3 |- ( B = 0 -> ( A || B <-> A || 0 ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B = 0 -> A || B ) )
33	28, 32	impbid 129	1 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3705   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   0cc0 8169   < clt 8350   <_ cle 8351   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623  ..^cfzo 10527   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12603