Theorem fzo0dvdseq 12498

Description: Zero is the only one of the first A nonnegative integers that is divisible by A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	|- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10454	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B < A )
2		elfzoelz 10444	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. ZZ )
3		elfzoel2 10443	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A e. ZZ )
4		zltnle 9586	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> -. A <_ B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. A <_ B )
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> A e. ZZ )
9		elfzonn0 10488	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> B e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B =/= 0 )
12		eldifsn 3804	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( B e. NN0 /\ B =/= 0 ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. ( NN0 \ { 0 } ) )
14		dfn2 9474	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
15	13, 14	eleqtrrdi 2325	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> B e. NN )
16		dvdsle 12485	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ B =/= 0 ) -> ( A || B -> A <_ B ) )
18	17	impancom 260	. . . . 5 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( B =/= 0 -> A <_ B ) )
19	7, 18	mtod 669	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> -. B =/= 0 )
20		0z 9551	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
21		zdceq 9616	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID B = 0 )
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> DECID B = 0 )
23		nnedc 2408	. . . . . . 7 |- (DECID B = 0 -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> ( -. B =/= 0 <-> B = 0 ) )
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( 0..^ A ) /\ A || B ) -> B = 0 )
28	27	ex 115	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B -> B = 0 ) )
29		dvds0 12447	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A || 0 )
30	3, 29	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> A || 0 )
31		breq2 4097	. . 3 |- ( B = 0 -> ( A || B <-> A || 0 ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( B = 0 -> A || B ) )
33	28, 32	impbid 129	1 |- ( B e. ( 0..^ A ) -> ( A || B <-> B = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   \ cdif 3198   {csn 3673   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8092   < clt 8273   <_ cle 8274   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540  ..^cfzo 10439   || cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12499