ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 11462
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 9884 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 9875 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoel2 9874 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
4 zltnle 9054 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
61, 5mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
76adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  A  <_  B )
83adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
9 elfzonn0 9914 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
109adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
11 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
12 eldifsn 3618 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1310, 11, 12sylanbrc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
14 dfn2 8944 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1513, 14syl6eleqr 2209 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
16 dvdsle 11449 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
178, 15, 16syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
1817impancom 258 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( B  =/=  0  ->  A  <_  B ) )
197, 18mtod 635 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  B  =/=  0 )
20 0z 9019 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
21 zdceq 9080 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  B  =  0 )
2220, 21mpan2 419 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  -> DECID  B  =  0
)
23 nnedc 2288 . . . . . . 7  |-  (DECID  B  =  0  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2625adantr 272 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
2719, 26mpbid 146 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  B  =  0 )
2827ex 114 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
29 dvds0 11415 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
303, 29syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
31 breq2 3901 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
3230, 31syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
3328, 32impbid 128 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283    \ cdif 3036   {csn 3495   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   0cc0 7584    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8680   NN0cn0 8931   ZZcz 9008  ..^cfzo 9870    || cdvds 11400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-dvds 11401
This theorem is referenced by:  fzocongeq  11463
  Copyright terms: Public domain W3C validator