ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 11876
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 10169 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 10160 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoel2 10159 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
4 zltnle 9312 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
61, 5mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
76adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  A  <_  B )
83adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
9 elfzonn0 10199 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
109adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
11 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
12 eldifsn 3731 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1310, 11, 12sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
14 dfn2 9202 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1513, 14eleqtrrdi 2281 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
16 dvdsle 11863 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
1817impancom 260 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( B  =/=  0  ->  A  <_  B ) )
197, 18mtod 664 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  B  =/=  0 )
20 0z 9277 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
21 zdceq 9341 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  B  =  0 )
2220, 21mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  -> DECID  B  =  0
)
23 nnedc 2362 . . . . . . 7  |-  (DECID  B  =  0  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2625adantr 276 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
2719, 26mpbid 147 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  B  =  0 )
2827ex 115 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
29 dvds0 11826 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
303, 29syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
31 breq2 4019 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
3230, 31syl5ibrcom 157 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
3328, 32impbid 129 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 835    = wceq 1363    e. wcel 2158    =/= wne 2357    \ cdif 3138   {csn 3604   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   0cc0 7824    < clt 8005    <_ cle 8006   NNcn 8932   NN0cn0 9189   ZZcz 9266  ..^cfzo 10155    || cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-dvds 11808
This theorem is referenced by:  fzocongeq  11877
  Copyright terms: Public domain W3C validator