ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 11865
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 10158 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 10149 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoel2 10148 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
4 zltnle 9301 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
61, 5mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
76adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  A  <_  B )
83adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
9 elfzonn0 10188 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
109adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
11 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
12 eldifsn 3721 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1310, 11, 12sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
14 dfn2 9191 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1513, 14eleqtrrdi 2271 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
16 dvdsle 11852 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
1817impancom 260 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( B  =/=  0  ->  A  <_  B ) )
197, 18mtod 663 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  -.  B  =/=  0 )
20 0z 9266 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
21 zdceq 9330 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  B  =  0 )
2220, 21mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  -> DECID  B  =  0
)
23 nnedc 2352 . . . . . . 7  |-  (DECID  B  =  0  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  = 
0 ) )
2625adantr 276 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 ) )
2719, 26mpbid 147 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  A  ||  B )  ->  B  =  0 )
2827ex 115 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
29 dvds0 11815 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
303, 29syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
31 breq2 4009 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
3230, 31syl5ibrcom 157 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
3328, 32impbid 129 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347    \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813    < clt 7994    <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255  ..^cfzo 10144    || cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  fzocongeq  11866
  Copyright terms: Public domain W3C validator