Theorem elfz1 9795

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 9792	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } )
2	1	eleq2d 2209	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } ) )
3		breq2 3933	. . . . 5 |- ( j = K -> ( M <_ j <-> M <_ K ) )
4		breq1 3932	. . . . 5 |- ( j = K -> ( j <_ N <-> K <_ N ) )
5	3, 4	anbi12d 464	. . . 4 |- ( j = K -> ( ( M <_ j /\ j <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	elrab 2840	. . 3 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		3anass 966	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	6, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) )
9	2, 8	syl6bb 195	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-neg 7936  df-z 9055  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  elfz  9796  elfz2  9797  fzen  9823  fzaddel  9839  elfzm11  9871  fznn0  9893  phicl2  11890