Theorem elfz1 10350

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 10347	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } )
2	1	eleq2d 2304	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } ) )
3		breq2 4115	. . . . 5 |- ( j = K -> ( M <_ j <-> M <_ K ) )
4		breq1 4114	. . . . 5 |- ( j = K -> ( j <_ N <-> K <_ N ) )
5	3, 4	anbi12d 473	. . . 4 |- ( j = K -> ( ( M <_ j /\ j <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	elrab 2975	. . 3 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		3anass 1009	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) )
9	2, 8	bitrdi 196	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   <_ cle 8311   ZZcz 9579   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-neg 8449  df-z 9580  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  elfz  10351  elfz2  10352  fzen  10380  fzaddel  10396  elfzm11  10429  fznn0  10451  phicl2  12915