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Theorem elfz1 9398
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 9395 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } )
21eleq2d 2157 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } ) )
3 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  K ) )
4 breq1 3840 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
j  <_  N  <->  K  <_  N ) )
53, 4anbi12d 457 . . . 4  |-  ( j  =  K  ->  (
( M  <_  j  /\  j  <_  N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65elrab 2769 . . 3  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 3anass 928 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
86, 7bitr4i 185 . 2  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )
92, 8syl6bb 194 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   {crab 2363   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634    <_ cle 7502   ZZcz 8720   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-neg 7635  df-z 8721  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  elfz  9399  elfz2  9400  fzen  9426  fzaddel  9441  elfzm11  9472  fznn0  9494  phicl2  11283
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