Theorem elfz1 9970

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 9967	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } )
2	1	eleq2d 2240	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } ) )
3		breq2 3993	. . . . 5 |- ( j = K -> ( M <_ j <-> M <_ K ) )
4		breq1 3992	. . . . 5 |- ( j = K -> ( j <_ N <-> K <_ N ) )
5	3, 4	anbi12d 470	. . . 4 |- ( j = K -> ( ( M <_ j /\ j <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	elrab 2886	. . 3 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		3anass 977	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	6, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) )
9	2, 8	bitrdi 195	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-neg 8093  df-z 9213  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  elfz  9971  elfz2  9972  fzen  9999  fzaddel  10015  elfzm11  10047  fznn0  10069  phicl2  12168