ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1 GIF version

Theorem elfz1 9825
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 9822 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)})
21eleq2d 2210 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)}))
3 breq2 3940 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑀𝑗𝑀𝐾))
4 breq1 3939 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑁𝐾𝑁))
53, 4anbi12d 465 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65elrab 2843 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 3anass 967 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
86, 7bitr4i 186 . 2 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁))
92, 8syl6bb 195 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cle 7824  cz 9077  ...cfz 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-neg 7959  df-z 9078  df-fz 9821
This theorem is referenced by:  elfz  9826  elfz2  9827  fzen  9853  fzaddel  9869  elfzm11  9901  fznn0  9923  phicl2  11924
  Copyright terms: Public domain W3C validator