ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1 GIF version

Theorem elfz1 9688
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 9685 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)})
21eleq2d 2184 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)}))
3 breq2 3899 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑀𝑗𝑀𝐾))
4 breq1 3898 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑁𝐾𝑁))
53, 4anbi12d 462 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65elrab 2809 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 3anass 949 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
86, 7bitr4i 186 . 2 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁))
92, 8syl6bb 195 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  {crab 2394   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  cle 7725  cz 8958  ...cfz 9683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-neg 7859  df-z 8959  df-fz 9684
This theorem is referenced by:  elfz  9689  elfz2  9690  fzen  9716  fzaddel  9732  elfzm11  9764  fznn0  9786  phicl2  11735
  Copyright terms: Public domain W3C validator