ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzm11 Unicode version

Theorem elfzm11 9505
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elfzm11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )

Proof of Theorem elfzm11
StepHypRef Expression
1 peano2zm 8788 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 elfz1 9429 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
31, 2sylan2 280 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  - 
1 ) ) ) )
4 zltlem1 8807 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
54anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <  N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
65expcom 114 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <  N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
76pm5.32d 438 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
8 3anass 928 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
9 3anass 928 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
107, 8, 93bitr4g 221 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
1110adantl 271 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
123, 11bitr4d 189 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   1c1 7351    < clt 7522    <_ cle 7523    - cmin 7653   ZZcz 8750   ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  uzsplit  9506  uznfz  9517  zmodfz  9753  zmodid2  9759  iseqcoll  10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator