ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzm11 Unicode version

Theorem elfzm11 9822
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elfzm11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )

Proof of Theorem elfzm11
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9046 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 elfz1 9746 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
31, 2sylan2 282 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  - 
1 ) ) ) )
4 zltlem1 9065 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
54anbi2d 457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <  N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
65expcom 115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <  N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
76pm5.32d 443 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
8 3anass 949 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
9 3anass 949 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
107, 8, 93bitr4g 222 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
1110adantl 273 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
123, 11bitr4d 190 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9008   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  uzsplit  9823  uznfz  9834  zmodfz  10070  zmodid2  10076  seq3coll  10536
  Copyright terms: Public domain W3C validator