Theorem phicl2 12785

Description: Bounds and closure for the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 12784	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		phivalfi 12783	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
3		hashcl 11042	. . . . 5 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9599	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ )
6		1z 9504	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
7		hashsng 11059	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
9		eluzfz1 10265	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
10		nnuz 9791	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	eleq2s 2326	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 1 ... N ) )
12		nnz 9497	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		1gcd 12562	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 gcd N ) = 1 )
15		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
16	15	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( 1 gcd N ) = 1 ) )
17	16	elrab 2962	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } <-> ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) )
18	11, 14, 17	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
19	18	snssd 3818	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
20		ssdomg 6951	. . . . . 6 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> ( { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
21	2, 19, 20	sylc 62	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
22		1nn 9153	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
23		snfig 6988	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } e. Fin )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } e. Fin
25		fihashdom 11065	. . . . . 6 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 2, 25	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
28	8, 27	eqbrtrrid 4124	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
29		1zzd 9505	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
30	29, 12	fzfigd 10692	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
31		ssrab2 3312	. . . . . 6 |- { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N )
32		ssdomg 6951	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
33	30, 31, 32	mpisyl 1491	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) )
34		fihashdom 11065	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
35	2, 30, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
36	33, 35	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) )
37		nnnn0 9408	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		hashfz1 11044	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
39	37, 38	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
40	36, 39	breqtrd 4114	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N )
41		elfz1 10247	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
42	6, 12, 41	sylancr 414	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
43	5, 28, 40, 42	mpbir3and 1206	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) )
44	1, 43	eqeltrd 2308	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   C_ wss 3200   {csn 3669   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ~<_ cdom 6907   Fincfn 6908   1c1 8032   <_ cle 8214   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ♯chash 11036   gcd cgcd 12523   phicphi 12780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-phi 12782

This theorem is referenced by:  phicl  12786  phi1  12790