ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phicl2 Unicode version

Theorem phicl2 10984
Description: Bounds and closure for the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phicl2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem phicl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phival 10983 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2 phivalfi 10982 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )
3 hashcl 10038 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  NN0 )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  NN0 )
54nn0zd 8776 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ZZ )
6 1z 8686 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
7 hashsng 10055 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( `  { 1 } )  =  1 )
86, 7ax-mp 7 . . . 4  |-  ( `  {
1 } )  =  1
9 eluzfz1 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
10 nnuz 8963 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2179 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
12 nnz 8679 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
13 1gcd 10777 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
15 oveq1 5601 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  gcd  N )  =  ( 1  gcd 
N ) )
1615eqeq1d 2093 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  <->  (
1  gcd  N )  =  1 ) )
1716elrab 2761 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  <->  ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  (
1  gcd  N )  =  1 ) )
1811, 14, 17sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
1918snssd 3559 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  { 1 }  C_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
20 ssdomg 6428 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin  ->  ( { 1 }  C_  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
212, 19, 20sylc 61 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
22 1nn 8345 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
23 snfig 6464 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  e.  Fin )
2422, 23ax-mp 7 . . . . . 6  |-  { 1 }  e.  Fin
25 fihashdom 10060 . . . . . 6  |-  ( ( { 1 }  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )  ->  ( ( `  {
1 } )  <_ 
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2624, 2, 25sylancr 405 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( `  { 1 } )  <_  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2721, 26mpbird 165 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { 1 } )  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
288, 27syl5eqbrr 3848 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
29 1zzd 8687 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
3029, 12fzfigd 9741 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
31 ssrab2 3092 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... N )
32 ssdomg 6428 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... N )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
3330, 31, 32mpisyl 1378 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) )
34 fihashdom 10060 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin )  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( `  ( 1 ... N ) )  <->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
352, 30, 34syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( `  ( 1 ... N ) )  <->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
3633, 35mpbird 165 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  ( `  (
1 ... N ) ) )
37 nnnn0 8590 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
38 hashfz1 10040 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )
3937, 38syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  ( 1 ... N
) )  =  N )
4036, 39breqtrd 3838 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  N )
41 elfz1 9338 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  /\  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  N ) ) )
426, 12, 41sylancr 405 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  /\  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  N ) ) )
435, 28, 40, 42mpbir3and 1124 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ( 1 ... N ) )
441, 43eqeltrd 2161 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436   {crab 2359    C_ wss 2986   {csn 3425   class class class wbr 3814   ` cfv 4972  (class class class)co 5594    ~<_ cdom 6389   Fincfn 6390   1c1 7272    <_ cle 7444   NNcn 8334   NN0cn0 8583   ZZcz 8660   ZZ>=cuz 8928   ...cfz 9333  ♯chash 10032    gcd cgcd 10732   phicphi 10980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-1o 6116  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-fl 9580  df-mod 9633  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-ihash 10033  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-gcd 10733  df-phi 10981
This theorem is referenced by:  phicl  10985  phi1  10989
  Copyright terms: Public domain W3C validator