Theorem phicl2 11096

Description: Bounds and closure for the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 11095	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		phivalfi 11094	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
3		hashcl 10089	. . . . 5 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 8802	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ )
6		1z 8712	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
7		hashsng 10106	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
9		eluzfz1 9380	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
10		nnuz 8989	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	eleq2s 2179	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 1 ... N ) )
12		nnz 8705	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		1gcd 10889	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 gcd N ) = 1 )
15		oveq1 5622	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
16	15	eqeq1d 2093	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( 1 gcd N ) = 1 ) )
17	16	elrab 2762	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } <-> ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) )
18	11, 14, 17	sylanbrc 408	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
19	18	snssd 3567	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
20		ssdomg 6449	. . . . . 6 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> ( { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
21	2, 19, 20	sylc 61	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
22		1nn 8371	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
23		snfig 6485	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } e. Fin )
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . 6 |- { 1 } e. Fin
25		fihashdom 10111	. . . . . 6 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 2, 25	sylancr 405	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27	21, 26	mpbird 165	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
28	8, 27	syl5eqbrr 3856	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
29		1zzd 8713	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
30	29, 12	fzfigd 9769	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
31		ssrab2 3095	. . . . . 6 |- { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N )
32		ssdomg 6449	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
33	30, 31, 32	mpisyl 1378	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) )
34		fihashdom 10111	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
35	2, 30, 34	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
36	33, 35	mpbird 165	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) )
37		nnnn0 8616	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		hashfz1 10091	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
39	37, 38	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
40	36, 39	breqtrd 3846	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N )
41		elfz1 9364	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
42	6, 12, 41	sylancr 405	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
43	5, 28, 40, 42	mpbir3and 1124	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) )
44	1, 43	eqeltrd 2161	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 922   = wceq 1287   e. wcel 1436   {crab 2359   C_ wss 2988   {csn 3431   class class class wbr 3822   ` cfv 4983  (class class class)co 5615   ~<_ cdom 6410   Fincfn 6411   1c1 7298   <_ cle 7470   NNcn 8360   NN0cn0 8609   ZZcz 8686   ZZ>=cuz 8954   ...cfz 9359  ♯chash 10083   gcd cgcd 10844   phicphi 11092

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-1o 6137  df-er 6246  df-en 6412  df-dom 6413  df-fin 6414  df-sup 6626  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-ihash 10084  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845  df-phi 11093

This theorem is referenced by:  phicl  11097  phi1  11101