ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phicl2 Unicode version

Theorem phicl2 12246
Description: Bounds and closure for the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phicl2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem phicl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phival 12245 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2 phivalfi 12244 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )
3 hashcl 10793 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  NN0 )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  NN0 )
54nn0zd 9403 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ZZ )
6 1z 9309 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
7 hashsng 10810 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( `  { 1 } )  =  1 )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `  {
1 } )  =  1
9 eluzfz1 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
10 nnuz 9593 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2284 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
12 nnz 9302 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
13 1gcd 12025 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
15 oveq1 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  gcd  N )  =  ( 1  gcd 
N ) )
1615eqeq1d 2198 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  <->  (
1  gcd  N )  =  1 ) )
1716elrab 2908 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  <->  ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  (
1  gcd  N )  =  1 ) )
1811, 14, 17sylanbrc 417 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
1918snssd 3752 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  { 1 }  C_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
20 ssdomg 6804 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin  ->  ( { 1 }  C_  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
212, 19, 20sylc 62 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
22 1nn 8960 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
23 snfig 6840 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  e.  Fin )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  e.  Fin
25 fihashdom 10815 . . . . . 6  |-  ( ( { 1 }  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )  ->  ( ( `  {
1 } )  <_ 
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2624, 2, 25sylancr 414 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( `  { 1 } )  <_  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <->  { 1 }  ~<_  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2721, 26mpbird 167 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { 1 } )  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
288, 27eqbrtrrid 4054 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
29 1zzd 9310 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
3029, 12fzfigd 10462 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
31 ssrab2 3255 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... N )
32 ssdomg 6804 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... N )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
3330, 31, 32mpisyl 1457 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) )
34 fihashdom 10815 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin )  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( `  ( 1 ... N ) )  <->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
352, 30, 34syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( `  ( 1 ... N ) )  <->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
3633, 35mpbird 167 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  ( `  (
1 ... N ) ) )
37 nnnn0 9213 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
38 hashfz1 10795 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )
3937, 38syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  ( 1 ... N
) )  =  N )
4036, 39breqtrd 4044 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  N )
41 elfz1 10043 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  /\  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  N ) ) )
426, 12, 41sylancr 414 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  /\  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  N ) ) )
435, 28, 40, 42mpbir3and 1182 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  e.  ( 1 ... N ) )
441, 43eqeltrd 2266 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   {crab 2472    C_ wss 3144   {csn 3607   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896    ~<_ cdom 6765   Fincfn 6766   1c1 7842    <_ cle 8023   NNcn 8949   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038  ♯chash 10787    gcd cgcd 11975   phicphi 12241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-phi 12243
This theorem is referenced by:  phicl  12247  phi1  12251
  Copyright terms: Public domain W3C validator