Theorem phicl2 12936

Description: Bounds and closure for the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 12935	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		phivalfi 12934	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
3		hashcl 11169	. . . . 5 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9716	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ )
6		1z 9620	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
7		hashsng 11186	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
9		eluzfz1 10385	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
10		nnuz 9908	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	eleq2s 2329	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 1 ... N ) )
12		nnz 9613	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		1gcd 12713	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 gcd N ) = 1 )
15		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
16	15	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( 1 gcd N ) = 1 ) )
17	16	elrab 2976	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } <-> ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) )
18	11, 14, 17	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
19	18	snssd 3844	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
20		ssdomg 7031	. . . . . 6 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> ( { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
21	2, 19, 20	sylc 62	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
22		1nn 9265	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
23		snfig 7069	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } e. Fin )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } e. Fin
25		fihashdom 11192	. . . . . 6 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 2, 25	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
28	8, 27	eqbrtrrid 4150	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
29		1zzd 9621	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
30	29, 12	fzfigd 10817	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
31		ssrab2 3327	. . . . . 6 |- { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N )
32		ssdomg 7031	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
33	30, 31, 32	mpisyl 1492	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) )
34		fihashdom 11192	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
35	2, 30, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
36	33, 35	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) )
37		nnnn0 9520	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		hashfz1 11171	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
39	37, 38	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
40	36, 39	breqtrd 4140	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N )
41		elfz1 10366	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
42	6, 12, 41	sylancr 414	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
43	5, 28, 40, 42	mpbir3and 1207	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) )
44	1, 43	eqeltrd 2311	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   C_ wss 3214   {csn 3694   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ~<_ cdom 6987   Fincfn 6988   1c1 8144   <_ cle 8325   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ♯chash 11163   gcd cgcd 12674   phicphi 12931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-phi 12933

This theorem is referenced by:  phicl  12937  phi1  12941