Theorem phicl2 11879

Description: Bounds and closure for the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 11878	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		phivalfi 11877	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
3		hashcl 10520	. . . . 5 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9164	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ )
6		1z 9073	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
7		hashsng 10537	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
9		eluzfz1 9804	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
10		nnuz 9354	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	eleq2s 2232	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 1 ... N ) )
12		nnz 9066	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		1gcd 11669	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 gcd N ) = 1 )
15		oveq1 5774	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
16	15	eqeq1d 2146	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( 1 gcd N ) = 1 ) )
17	16	elrab 2835	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } <-> ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) )
18	11, 14, 17	sylanbrc 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
19	18	snssd 3660	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
20		ssdomg 6665	. . . . . 6 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> ( { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
21	2, 19, 20	sylc 62	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
22		1nn 8724	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
23		snfig 6701	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } e. Fin )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } e. Fin
25		fihashdom 10542	. . . . . 6 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 2, 25	sylancr 410	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27	21, 26	mpbird 166	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
28	8, 27	eqbrtrrid 3959	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
29		1zzd 9074	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
30	29, 12	fzfigd 10197	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
31		ssrab2 3177	. . . . . 6 |- { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N )
32		ssdomg 6665	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
33	30, 31, 32	mpisyl 1422	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) )
34		fihashdom 10542	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
35	2, 30, 34	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
36	33, 35	mpbird 166	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) )
37		nnnn0 8977	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		hashfz1 10522	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
39	37, 38	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
40	36, 39	breqtrd 3949	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N )
41		elfz1 9788	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
42	6, 12, 41	sylancr 410	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
43	5, 28, 40, 42	mpbir3and 1164	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) )
44	1, 43	eqeltrd 2214	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2418   C_ wss 3066   {csn 3522   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ~<_ cdom 6626   Fincfn 6627   1c1 7614   <_ cle 7794   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783  ♯chash 10514   gcd cgcd 11624   phicphi 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483  df-gcd 11625  df-phi 11876

This theorem is referenced by:  phicl  11880  phi1  11884