Theorem phicl2 12168

Description: Bounds and closure for the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 12167	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		phivalfi 12166	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
3		hashcl 10715	. . . . 5 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9332	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ )
6		1z 9238	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
7		hashsng 10733	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
9		eluzfz1 9987	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
10		nnuz 9522	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	eleq2s 2265	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 1 ... N ) )
12		nnz 9231	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		1gcd 11947	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 gcd N ) = 1 )
15		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
16	15	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( 1 gcd N ) = 1 ) )
17	16	elrab 2886	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } <-> ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) )
18	11, 14, 17	sylanbrc 415	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
19	18	snssd 3725	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
20		ssdomg 6756	. . . . . 6 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> ( { 1 } C_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
21	2, 19, 20	sylc 62	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
22		1nn 8889	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
23		snfig 6792	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } e. Fin )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } e. Fin
25		fihashdom 10738	. . . . . 6 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 2, 25	sylancr 412	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <-> { 1 } ~<_ { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27	21, 26	mpbird 166	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { 1 } ) <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
28	8, 27	eqbrtrrid 4025	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
29		1zzd 9239	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
30	29, 12	fzfigd 10387	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
31		ssrab2 3232	. . . . . 6 |- { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N )
32		ssdomg 6756	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... N ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
33	30, 31, 32	mpisyl 1439	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) )
34		fihashdom 10738	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
35	2, 30, 34	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... N ) ) )
36	33, 35	mpbird 166	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) )
37		nnnn0 9142	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		hashfz1 10717	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
39	37, 38	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
40	36, 39	breqtrd 4015	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N )
41		elfz1 9970	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
42	6, 12, 41	sylancr 412	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) <-> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ZZ /\ 1 <_ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ N ) ) )
43	5, 28, 40, 42	mpbir3and 1175	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. ( 1 ... N ) )
44	1, 43	eqeltrd 2247	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   {csn 3583   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ~<_ cdom 6717   Fincfn 6718   1c1 7775   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965  ♯chash 10709   gcd cgcd 11897   phicphi 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-phi 12165

This theorem is referenced by:  phicl  12169  phi1  12173