Theorem fznn0 9780

Description: Characterization of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0	|- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem fznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8963	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		nn0z 8972	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		elfz1 9682	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 408	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) )
5		df-3an 945	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) )
6		elnn0z 8965	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
7	6	anbi1i 451	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) )
8	5, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. NN0 /\ K <_ N ) )
9	4, 8	syl6bb 195	1 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 943   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   0cc0 7541   <_ cle 7719   NN0cn0 8875   ZZcz 8952   ...cfz 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-fz 9678

This theorem is referenced by:  nn0fz0  9786  ennnfonelemnn0  11774