Theorem elfz 10427

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 10426	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		3anass 1013	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3	2	baib 931	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4	1, 3	sylan9bb 466	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3impa 1225	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	3comr 1242	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   ZZcz 9648   ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfz5  10430  fztri3or  10453  fzdcel  10454  fznatpl1  10493  fzdifsuc  10498  fzrev  10501  fzctr  10550  elfzo  10566  infssuzex  10676  iseqf1olemqk  10957  bcval5  11215  pfxccat3a  11524  isprm3  12912  bposlem1  16209  2lgslem1a  16305