Theorem elfz 9924

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 9923	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		3anass 967	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3	2	baib 905	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4	1, 3	sylan9bb 458	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3impa 1177	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	3comr 1193	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   <_ cle 7915   ZZcz 9172   ...cfz 9918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-neg 8053  df-z 9173  df-fz 9919

This theorem is referenced by:  elfz5  9926  fztri3or  9947  fzdcel  9948  fznatpl1  9984  fzdifsuc  9989  fzrev  9992  fzctr  10041  elfzo  10057  iseqf1olemqk  10402  bcval5  10648  infssuzex  11848  isprm3  12010  hashdvds  12111