Theorem fzen 10377

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Proof of Theorem fzen

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzf 10346	. . . . 5 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
2		ffn 5508	. . . . 5 |- ( ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ -> ... Fn ( ZZ X. ZZ ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ... Fn ( ZZ X. ZZ )
4		fnovex 6083	. . . 4 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
5	3, 4	mp3an1 1361	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
6	5	3adant3 1044	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
7		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
9	7, 8	zaddcld 9704	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
10		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
11	10, 8	zaddcld 9704	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
12		fnovex 6083	. . 3 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
13	3, 9, 11, 12	mp3an2i 1379	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
14		elfz1 10347	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
15	14	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
16	15	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
17		zaddcl 9617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ZZ )
18	17	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
19	18	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
20	19	adantrd 279	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ZZ ) )
21		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
22		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
23		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
24		leadd1 8704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
26	25	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
27	26	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
28	27	3com23 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
29	28	3expia 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) ) )
30	29	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
31	30	3adant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
32		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
33		leadd1 8704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
34	22, 32, 23, 33	syl3an 1316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
36	35	adantld 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
37	36	3coml 1237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
38	37	3expia 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
39	38	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
40	39	3adant1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
41	20, 31, 40	3jcad 1205	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
42		zaddcl 9617	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
43	42	3adant2 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
44		zaddcl 9617	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
45	44	3adant1 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
46		elfz1 10347	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
48	47	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
49	41, 48	syldc 46	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
50	49	3impb 1226	. . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
51	50	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
52	16, 51	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
53		elfz1 10347	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
54	43, 45, 53	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
55	54	biimpd 144	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
56		zsubcl 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ZZ )
57	56	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
58	57	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
59	58	adantrd 279	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
60		zre 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
61		leaddsub 8712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
62	21, 23, 60, 61	syl3an 1316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
63	62	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m -> M <_ ( m - K ) ) )
64	63	adantrd 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
65	64	3expia 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) ) )
66	65	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
67	66	3adant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
68		lesubadd 8708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
69	60, 23, 32, 68	syl3an 1316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
70	69	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m <_ ( N + K ) -> ( m - K ) <_ N ) )
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
72	71	3coml 1237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
73	72	3expia 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) ) )
74	73	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
75	74	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
76	75	3adant1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
77	59, 67, 76	3jcad 1205	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
78		elfz1 10347	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) e. ( M ... N ) <-> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
79	78	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
80	79	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
81	77, 80	syldc 46	. . . . 5 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
82	81	3impb 1226	. . . 4 |- ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
83	82	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
84	55, 83	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
85	16	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) )
86	85	simp1d 1036	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
87	86	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ ) )
88	55	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) )
89	88	simp1d 1036	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> m e. ZZ )
90	89	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> m e. ZZ ) )
91		zcn 9582	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
92		zcn 9582	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
93		zcn 9582	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
94		subadd 8476	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m - K ) = k <-> ( K + k ) = m ) )
95		eqcom 2234	. . . . . . . . 9 |- ( ( m - K ) = k <-> k = ( m - K ) )
96		eqcom 2234	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + k ) = m <-> m = ( K + k ) )
97	94, 95, 96	3bitr3g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( K + k ) ) )
98		addcom 8410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
99	98	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
100	99	eqeq2d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( m = ( K + k ) <-> m = ( k + K ) ) )
101	97, 100	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
102	91, 92, 93, 101	syl3an 1316	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
103	102	3coml 1237	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
104	103	3expib 1233	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
105	104	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
106	87, 90, 105	syl2and 295	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
107	6, 13, 52, 84, 106	en3d 7008	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   ~Pcpw 3669   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -->wf 5348  (class class class)co 6050   ~~ cen 6973   CCcc 8125   RRcr 8126   + caddc 8130   <_ cle 8309   - cmin 8444   ZZcz 9577   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-en 6976  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  fz01en  10387  frecfzen2  10789  hashfz  11186  mertenslemi1  12221  hashdvds  12918