Theorem fzen 10029

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Proof of Theorem fzen

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzf 9999	. . . . 5 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
2		ffn 5361	. . . . 5 |- ( ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ -> ... Fn ( ZZ X. ZZ ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ... Fn ( ZZ X. ZZ )
4		fnovex 5902	. . . 4 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
5	3, 4	mp3an1 1324	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
6	5	3adant3 1017	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
7		simp1 997	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8		simp3 999	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
9	7, 8	zaddcld 9368	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
10		simp2 998	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
11	10, 8	zaddcld 9368	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
12		fnovex 5902	. . . 4 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
13	3, 12	mp3an1 1324	. . 3 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
14	9, 11, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
15		elfz1 10000	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
16	15	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
17	16	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
18		zaddcl 9282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ZZ )
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
20	19	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
21	20	adantrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ZZ ) )
22		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
23		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
24		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
25		leadd1 8377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl3an 1280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
27	26	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
28	27	adantrd 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
29	28	3com23 1209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
30	29	3expia 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) ) )
31	30	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
32	31	3adant2 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
33		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
34		leadd1 8377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
35	23, 33, 24, 34	syl3an 1280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
36	35	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
38	37	3coml 1210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
39	38	3expia 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
40	39	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
41	40	3adant1 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
42	21, 32, 41	3jcad 1178	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
43		zaddcl 9282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
44	43	3adant2 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
45		zaddcl 9282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
46	45	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
47		elfz1 10000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
49	48	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
50	42, 49	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
51	50	com12 30	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
52	51	3impb 1199	. . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
53	52	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
54	17, 53	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
55		elfz1 10000	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
56	44, 46, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
57	56	biimpd 144	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
58		zsubcl 9283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ZZ )
59	58	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
60	59	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
61	60	adantrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
62		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
63		leaddsub 8385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
64	22, 24, 62, 63	syl3an 1280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
65	64	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m -> M <_ ( m - K ) ) )
66	65	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
67	66	3expia 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
69	68	3adant2 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
70		lesubadd 8381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
71	62, 24, 33, 70	syl3an 1280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
72	71	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m <_ ( N + K ) -> ( m - K ) <_ N ) )
73	72	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
74	73	3coml 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
75	74	3expia 1205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) ) )
76	75	impd 254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
77	76	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
78	77	3adant1 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
79	61, 69, 78	3jcad 1178	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
80		elfz1 10000	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) e. ( M ... N ) <-> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
81	80	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
82	81	3adant3 1017	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
83	79, 82	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
84	83	com12 30	. . . . 5 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
85	84	3impb 1199	. . . 4 |- ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
86	85	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
87	57, 86	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
88	17	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) )
89	88	simp1d 1009	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
90	89	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ ) )
91	57	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) )
92	91	simp1d 1009	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> m e. ZZ )
93	92	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> m e. ZZ ) )
94		zcn 9247	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
95		zcn 9247	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
96		zcn 9247	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
97		subadd 8150	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m - K ) = k <-> ( K + k ) = m ) )
98		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( m - K ) = k <-> k = ( m - K ) )
99		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + k ) = m <-> m = ( K + k ) )
100	97, 98, 99	3bitr3g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( K + k ) ) )
101		addcom 8084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
102	101	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
103	102	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( m = ( K + k ) <-> m = ( k + K ) ) )
104	100, 103	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
105	94, 95, 96, 104	syl3an 1280	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
106	105	3coml 1210	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
107	106	3expib 1206	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
108	107	3ad2ant3 1020	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
109	90, 93, 108	syl2and 295	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
110	6, 14, 54, 87, 109	en3d 6763	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   ~Pcpw 3574   class class class wbr 4000   X. cxp 4621   Fn wfn 5207   -->wf 5208  (class class class)co 5869   ~~ cen 6732   CCcc 7800   RRcr 7801   + caddc 7805   <_ cle 7983   - cmin 8118   ZZcz 9242   ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-en 6735  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-fz 9996

This theorem is referenced by:  fz01en  10039  frecfzen2  10413  hashfz  10785  mertenslemi1  11527  hashdvds  12204