Theorem fzen 10072

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Proof of Theorem fzen

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzf 10041	. . . . 5 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
2		ffn 5384	. . . . 5 |- ( ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ -> ... Fn ( ZZ X. ZZ ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ... Fn ( ZZ X. ZZ )
4		fnovex 5928	. . . 4 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
5	3, 4	mp3an1 1335	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
6	5	3adant3 1019	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
7		simp1 999	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
9	7, 8	zaddcld 9408	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
10		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
11	10, 8	zaddcld 9408	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
12		fnovex 5928	. . . 4 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
13	3, 12	mp3an1 1335	. . 3 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
14	9, 11, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
15		elfz1 10042	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
16	15	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
17	16	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
18		zaddcl 9322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ZZ )
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
20	19	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
21	20	adantrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ZZ ) )
22		zre 9286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
23		zre 9286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
24		zre 9286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
25		leadd1 8416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
27	26	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
28	27	adantrd 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
29	28	3com23 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
30	29	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) ) )
31	30	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
32	31	3adant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
33		zre 9286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
34		leadd1 8416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
35	23, 33, 24, 34	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
36	35	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
38	37	3coml 1212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
39	38	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
40	39	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
41	40	3adant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
42	21, 32, 41	3jcad 1180	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
43		zaddcl 9322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
44	43	3adant2 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
45		zaddcl 9322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
46	45	3adant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
47		elfz1 10042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
49	48	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
50	42, 49	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
51	50	com12 30	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
52	51	3impb 1201	. . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
53	52	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
54	17, 53	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
55		elfz1 10042	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
56	44, 46, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
57	56	biimpd 144	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
58		zsubcl 9323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ZZ )
59	58	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
60	59	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
61	60	adantrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
62		zre 9286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
63		leaddsub 8424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
64	22, 24, 62, 63	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
65	64	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m -> M <_ ( m - K ) ) )
66	65	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
67	66	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
69	68	3adant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
70		lesubadd 8420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
71	62, 24, 33, 70	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
72	71	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m <_ ( N + K ) -> ( m - K ) <_ N ) )
73	72	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
74	73	3coml 1212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
75	74	3expia 1207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) ) )
76	75	impd 254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
77	76	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
78	77	3adant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
79	61, 69, 78	3jcad 1180	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
80		elfz1 10042	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) e. ( M ... N ) <-> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
81	80	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
82	81	3adant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
83	79, 82	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
84	83	com12 30	. . . . 5 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
85	84	3impb 1201	. . . 4 |- ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
86	85	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
87	57, 86	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
88	17	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) )
89	88	simp1d 1011	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
90	89	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ ) )
91	57	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) )
92	91	simp1d 1011	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> m e. ZZ )
93	92	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> m e. ZZ ) )
94		zcn 9287	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
95		zcn 9287	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
96		zcn 9287	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
97		subadd 8189	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m - K ) = k <-> ( K + k ) = m ) )
98		eqcom 2191	. . . . . . . . 9 |- ( ( m - K ) = k <-> k = ( m - K ) )
99		eqcom 2191	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + k ) = m <-> m = ( K + k ) )
100	97, 98, 99	3bitr3g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( K + k ) ) )
101		addcom 8123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
102	101	3adant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
103	102	eqeq2d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( m = ( K + k ) <-> m = ( k + K ) ) )
104	100, 103	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
105	94, 95, 96, 104	syl3an 1291	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
106	105	3coml 1212	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
107	106	3expib 1208	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
108	107	3ad2ant3 1022	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
109	90, 93, 108	syl2and 295	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
110	6, 14, 54, 87, 109	en3d 6794	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   ~Pcpw 3590   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   Fn wfn 5230   -->wf 5231  (class class class)co 5895   ~~ cen 6763   CCcc 7838   RRcr 7839   + caddc 7843   <_ cle 8022   - cmin 8157   ZZcz 9282   ...cfz 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-en 6766  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-fz 10038

This theorem is referenced by:  fz01en  10082  frecfzen2  10457  hashfz  10832  mertenslemi1  11574  hashdvds  12252