Theorem fzen 10426

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Proof of Theorem fzen

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzf 10394	. . . . 5 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
2		ffn 5528	. . . . 5 |- ( ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ -> ... Fn ( ZZ X. ZZ ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ... Fn ( ZZ X. ZZ )
4		fnovex 6108	. . . 4 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
5	3, 4	mp3an1 1365	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
6	5	3adant3 1048	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
7		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
9	7, 8	zaddcld 9751	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
10		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
11	10, 8	zaddcld 9751	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
12		fnovex 6108	. . 3 |- ( ( ... Fn ( ZZ X. ZZ ) /\ ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
13	3, 9, 11, 12	mp3an2i 1383	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
14		elfz1 10395	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
15	14	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
16	15	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
17		zaddcl 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ZZ )
18	17	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
19	18	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
20	19	adantrd 279	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ZZ ) )
21		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
22		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
23		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
24		leadd1 8748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
26	25	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
27	26	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
28	27	3com23 1240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
29	28	3expia 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) ) )
30	29	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
31	30	3adant2 1047	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
32		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
33		leadd1 8748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
34	22, 32, 23, 33	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
36	35	adantld 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
37	36	3coml 1241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
38	37	3expia 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
39	38	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
40	39	3adant1 1046	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
41	20, 31, 40	3jcad 1209	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
42		zaddcl 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
43	42	3adant2 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
44		zaddcl 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
45	44	3adant1 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
46		elfz1 10395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
47	43, 45, 46	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
48	47	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
49	41, 48	syldc 46	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
50	49	3impb 1230	. . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
51	50	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
52	16, 51	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
53		elfz1 10395	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
54	43, 45, 53	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
55	54	biimpd 144	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
56		zsubcl 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ZZ )
57	56	expcom 116	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
58	57	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
59	58	adantrd 279	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
60		zre 9627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
61		leaddsub 8756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
62	21, 23, 60, 61	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
63	62	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m -> M <_ ( m - K ) ) )
64	63	adantrd 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
65	64	3expia 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) ) )
66	65	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
67	66	3adant2 1047	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
68		lesubadd 8752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
69	60, 23, 32, 68	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
70	69	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m <_ ( N + K ) -> ( m - K ) <_ N ) )
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
72	71	3coml 1241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
73	72	3expia 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) ) )
74	73	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
75	74	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
76	75	3adant1 1046	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
77	59, 67, 76	3jcad 1209	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
78		elfz1 10395	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) e. ( M ... N ) <-> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
79	78	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
80	79	3adant3 1048	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
81	77, 80	syldc 46	. . . . 5 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
82	81	3impb 1230	. . . 4 |- ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
83	82	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
84	55, 83	syld 45	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
85	16	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) )
86	85	simp1d 1040	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
87	86	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ ) )
88	55	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) )
89	88	simp1d 1040	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> m e. ZZ )
90	89	ex 115	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> m e. ZZ ) )
91		zcn 9628	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
92		zcn 9628	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
93		zcn 9628	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
94		subadd 8519	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m - K ) = k <-> ( K + k ) = m ) )
95		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( m - K ) = k <-> k = ( m - K ) )
96		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + k ) = m <-> m = ( K + k ) )
97	94, 95, 96	3bitr3g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( K + k ) ) )
98		addcom 8453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
99	98	3adant1 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
100	99	eqeq2d 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( m = ( K + k ) <-> m = ( k + K ) ) )
101	97, 100	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
102	91, 92, 93, 101	syl3an 1320	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
103	102	3coml 1241	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
104	103	3expib 1237	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
105	104	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
106	87, 90, 105	syl2and 295	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
107	6, 13, 52, 84, 106	en3d 7045	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3685   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   Fn wfn 5367   -->wf 5368  (class class class)co 6075   ~~ cen 7010   CCcc 8167   RRcr 8168   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   ZZcz 9623   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-en 7013  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fz01en  10437  frecfzen2  10842  hashfz  11240  mertenslemi1  12280  hashdvds  12977