Theorem elmopn 14591

Description: The defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
elmopn	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, D, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem elmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopnval 14587	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
3	2	eleq2d 2263	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> A e. ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) )
4		blbas 14578	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) e. TopBases )
5		eltg2 14198	. . 3 |- ( ran ( ball ` D ) e. TopBases -> ( A e. ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) <-> ( A C_ U. ran ( ball ` D ) /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) <-> ( A C_ U. ran ( ball ` D ) /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
7		unirnbl 14568	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )
8	7	sseq2d 3209	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A C_ U. ran ( ball ` D ) <-> A C_ X ) )
9	8	anbi1d 465	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( A C_ U. ran ( ball ` D ) /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
10	3, 6, 9	3bitrd 214	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   U.cuni 3835   ran crn 4656   ` cfv 5246   topGenctg 12855   *Metcxmet 14016   ballcbl 14018   MetOpencmopn 14021   TopBasesctb 14187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-isom 5255  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-map 6695  df-sup 7033  df-inf 7034  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-xneg 9828  df-xadd 9829  df-seqfrec 10509  df-exp 10600  df-cj 10976  df-re 10977  df-im 10978  df-rsqrt 11132  df-abs 11133  df-topgen 12861  df-psmet 14023  df-xmet 14024  df-bl 14026  df-mopn 14027  df-top 14143  df-bases 14188

This theorem is referenced by:  elmopn2  14594  mopni  14627