Theorem elmopn 13808

Description: The defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
elmopn	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, D, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem elmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopnval 13804	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
3	2	eleq2d 2247	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> A e. ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) )
4		blbas 13795	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) e. TopBases )
5		eltg2 13415	. . 3 |- ( ran ( ball ` D ) e. TopBases -> ( A e. ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) <-> ( A C_ U. ran ( ball ` D ) /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) <-> ( A C_ U. ran ( ball ` D ) /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
7		unirnbl 13785	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )
8	7	sseq2d 3185	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A C_ U. ran ( ball ` D ) <-> A C_ X ) )
9	8	anbi1d 465	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( A C_ U. ran ( ball ` D ) /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
10	3, 6, 9	3bitrd 214	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. ran ( ball ` D ) ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   U.cuni 3809   ran crn 4626   ` cfv 5214   topGenctg 12690   *Metcxmet 13300   ballcbl 13302   MetOpencmopn 13305   TopBasesctb 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-map 6646  df-sup 6979  df-inf 6980  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-xneg 9767  df-xadd 9768  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-topgen 12696  df-psmet 13307  df-xmet 13308  df-bl 13310  df-mopn 13311  df-top 13358  df-bases 13403

This theorem is referenced by:  elmopn2  13811  mopni  13844