ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg2 GIF version

Theorem eltg2 11921
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 11919 . . 3 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))})
21eleq2d 2164 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}))
3 elex 2644 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} → 𝐴 ∈ V)
43adantl 272 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}) → 𝐴 ∈ V)
5 uniexg 4290 . . . . . 6 (𝐵𝑉 𝐵 ∈ V)
6 ssexg 3999 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
75, 6sylan2 281 . . . . 5 ((𝐴 𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 265 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantrr 464 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))) → 𝐴 ∈ V)
10 sseq1 3062 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 𝐵𝐴 𝐵))
11 sseq2 3063 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑦𝑧𝑦𝐴))
1211anbi2d 453 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1312rexbidv 2392 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1413raleqbi1dv 2584 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1510, 14anbi12d 458 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧)) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
1615elabg 2775 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
174, 9, 16pm5.21nd 866 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
182, 17bitrd 187 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wcel 1445  {cab 2081  wral 2370  wrex 2371  Vcvv 2633  wss 3013   cuni 3675  cfv 5049  topGenctg 11835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-topgen 11841
This theorem is referenced by:  eltg2b  11922  tg1  11927  tgcl  11932  elmopn  12248
  Copyright terms: Public domain W3C validator