ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg2 GIF version

Theorem eltg2 13824
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 13822 . . 3 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))})
21eleq2d 2257 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}))
3 elex 2760 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} → 𝐴 ∈ V)
43adantl 277 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}) → 𝐴 ∈ V)
5 uniexg 4451 . . . . . 6 (𝐵𝑉 𝐵 ∈ V)
6 ssexg 4154 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
75, 6sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴 𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 268 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantrr 479 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))) → 𝐴 ∈ V)
10 sseq1 3190 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 𝐵𝐴 𝐵))
11 sseq2 3191 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑦𝑧𝑦𝐴))
1211anbi2d 464 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1312rexbidv 2488 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1413raleqbi1dv 2691 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1510, 14anbi12d 473 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧)) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
1615elabg 2895 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
174, 9, 16pm5.21nd 917 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
182, 17bitrd 188 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  {cab 2173  wral 2465  wrex 2466  Vcvv 2749  wss 3141   cuni 3821  cfv 5228  topGenctg 12720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-topgen 12726
This theorem is referenced by:  eltg2b  13825  tg1  13830  tgcl  13835  elmopn  14217  xmettx  14281
  Copyright terms: Public domain W3C validator