ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg2b GIF version

Theorem eltg2b 13694
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 13693 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
2 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝑦)
32reximi 2574 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 eluni2 3815 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
53, 4sylibr 134 . . . . 5 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥 𝐵)
65ralimi 2540 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
7 dfss3 3147 . . . 4 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
86, 7sylibr 134 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝐴 𝐵)
98pm4.71ri 392 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
101, 9bitr4di 198 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3131   cuni 3811  cfv 5218  topGenctg 12709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12715
This theorem is referenced by:  tg2  13700  tgcl  13704  eltop2  13710  tgss2  13719  basgen2  13721  eltx  13899  tgqioo  14187
  Copyright terms: Public domain W3C validator