ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg4i GIF version

Theorem eltg4i 13640
Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg4i (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem eltg4i
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12714 . . . . . . 7 topGen = (π‘₯ ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 βŠ† βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝒫 𝑦)})
21funmpt2 5257 . . . . . 6 Fun topGen
3 funrel 5235 . . . . . 6 (Fun topGen β†’ Rel topGen)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 Rel topGen
5 relelfvdm 5549 . . . . 5 ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ dom topGen)
64, 5mpan 424 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ dom topGen)
7 eltg 13637 . . . 4 (𝐡 ∈ dom topGen β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴)))
86, 7syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴)))
98ibi 176 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴))
10 inss2 3358 . . . . 5 (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴) βŠ† 𝒫 𝐴
1110unissi 3834 . . . 4 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝒫 𝐴
12 unipw 4219 . . . 4 βˆͺ 𝒫 𝐴 = 𝐴
1311, 12sseqtri 3191 . . 3 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴) βŠ† 𝐴
1413a1i 9 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴) βŠ† 𝐴)
159, 14eqssd 3174 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2739   ∩ cin 3130   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577  βˆͺ cuni 3811  dom cdm 4628  Rel wrel 4633  Fun wfun 5212  β€˜cfv 5218  topGenctg 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12714
This theorem is referenced by:  eltg3  13642  tgdom  13657  tgidm  13659
  Copyright terms: Public domain W3C validator