Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg4i GIF version

Theorem eltg4i 12261
 Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg4i (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem eltg4i
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12178 . . . . . . 7 topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦𝑦 (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
21funmpt2 5169 . . . . . 6 Fun topGen
3 funrel 5147 . . . . . 6 (Fun topGen → Rel topGen)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 Rel topGen
5 relelfvdm 5460 . . . . 5 ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
64, 5mpan 421 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7 eltg 12258 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
86, 7syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
98ibi 175 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10 inss2 3301 . . . . 5 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
1110unissi 3766 . . . 4 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
12 unipw 4146 . . . 4 𝒫 𝐴 = 𝐴
1311, 12sseqtri 3135 . . 3 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴
1413a1i 9 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴)
159, 14eqssd 3118 1 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {cab 2126  Vcvv 2689   ∩ cin 3074   ⊆ wss 3075  𝒫 cpw 3514  ∪ cuni 3743  dom cdm 4546  Rel wrel 4551  Fun wfun 5124  ‘cfv 5130  topGenctg 12172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-topgen 12178 This theorem is referenced by:  eltg3  12263  tgdom  12278  tgidm  12280
 Copyright terms: Public domain W3C validator