Theorem eltg4i 14445

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13010	. . . . . . 7 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5307	. . . . . 6 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5285	. . . . . 6 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5602	. . . . 5 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		eltg 14442	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
9	8	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10		inss2 3393	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
11	10	unissi 3872	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
12		unipw 4260	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
13	11, 12	sseqtri 3226	. . 3 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴
14	13	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴)
15	9, 14	eqssd 3209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  {cab 2190  Vcvv 2771   ∩ cin 3164   ⊆ wss 3165  𝒫 cpw 3615  ∪ cuni 3849  dom cdm 4673  Rel wrel 4678  Fun wfun 5262  ‘cfv 5268  topGenctg 13004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-topgen 13010

This theorem is referenced by:  eltg3  14447  tgdom  14462  tgidm  14464