ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg4i GIF version

Theorem eltg4i 13426
Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg4i (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem eltg4i
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12697 . . . . . . 7 topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦𝑦 (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
21funmpt2 5254 . . . . . 6 Fun topGen
3 funrel 5232 . . . . . 6 (Fun topGen → Rel topGen)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 Rel topGen
5 relelfvdm 5546 . . . . 5 ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
64, 5mpan 424 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7 eltg 13423 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
86, 7syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
98ibi 176 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10 inss2 3356 . . . . 5 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
1110unissi 3832 . . . 4 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
12 unipw 4216 . . . 4 𝒫 𝐴 = 𝐴
1311, 12sseqtri 3189 . . 3 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴
1413a1i 9 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴)
159, 14eqssd 3172 1 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3575   cuni 3809  dom cdm 4625  Rel wrel 4630  Fun wfun 5209  cfv 5215  topGenctg 12691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-topgen 12697
This theorem is referenced by:  eltg3  13428  tgdom  13443  tgidm  13445
  Copyright terms: Public domain W3C validator