Theorem eltg4i 14223

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12871	. . . . . . 7 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5293	. . . . . 6 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5271	. . . . . 6 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5586	. . . . 5 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		eltg 14220	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
9	8	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10		inss2 3380	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
11	10	unissi 3858	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
12		unipw 4246	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
13	11, 12	sseqtri 3213	. . 3 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴
14	13	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐴)
15	9, 14	eqssd 3196	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601  ∪ cuni 3835  dom cdm 4659  Rel wrel 4664  Fun wfun 5248  ‘cfv 5254  topGenctg 12865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871

This theorem is referenced by:  eltg3  14225  tgdom  14240  tgidm  14242