Theorem en1bg 6702

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ 1o ↔ 𝐴 = {∪ 𝐴}))

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6701	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
2		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {𝑥})
3		unieq 3753	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → ∪ 𝐴 = ∪ {𝑥})
4		vex 2692	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	unisn 3760	. . . . . . 7 ⊢ ∪ {𝑥} = 𝑥
6	3, 5	eqtrdi 2189	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → ∪ 𝐴 = 𝑥)
7	6	sneqd 3545	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → {∪ 𝐴} = {𝑥})
8	2, 7	eqtr4d 2176	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {∪ 𝐴})
9	8	exlimiv 1578	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {∪ 𝐴})
10	1, 9	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → 𝐴 = {∪ 𝐴})
11		uniexg 4369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
12		ensn1g 6699	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → {∪ 𝐴} ≈ 1o)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∪ 𝐴} ≈ 1o)
14		breq1 3940	. . 3 ⊢ (𝐴 = {∪ 𝐴} → (𝐴 ≈ 1o ↔ {∪ 𝐴} ≈ 1o))
15	13, 14	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = {∪ 𝐴} → 𝐴 ≈ 1o))
16	10, 15	impbid2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ 1o ↔ 𝐴 = {∪ 𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  {csn 3532  ∪ cuni 3744   class class class wbr 3937  1_oc1o 6314   ≈ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-en 6643

This theorem is referenced by:  en1uniel  6706