ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1bg GIF version

Theorem en1bg 6821
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1bg (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ 1o𝐴 = { 𝐴}))

Proof of Theorem en1bg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 6820 . . 3 (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
2 id 19 . . . . 5 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {𝑥})
3 unieq 3833 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {𝑥})
4 vex 2755 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
54unisn 3840 . . . . . . 7 {𝑥} = 𝑥
63, 5eqtrdi 2238 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = 𝑥)
76sneqd 3620 . . . . 5 (𝐴 = {𝑥} → { 𝐴} = {𝑥})
82, 7eqtr4d 2225 . . . 4 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = { 𝐴})
98exlimiv 1609 . . 3 (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = { 𝐴})
101, 9sylbi 121 . 2 (𝐴 ≈ 1o𝐴 = { 𝐴})
11 uniexg 4454 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
12 ensn1g 6818 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V → { 𝐴} ≈ 1o)
1311, 12syl 14 . . 3 (𝐴𝑉 → { 𝐴} ≈ 1o)
14 breq1 4021 . . 3 (𝐴 = { 𝐴} → (𝐴 ≈ 1o ↔ { 𝐴} ≈ 1o))
1513, 14syl5ibrcom 157 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 = { 𝐴} → 𝐴 ≈ 1o))
1610, 15impbid2 143 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ 1o𝐴 = { 𝐴}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2160  Vcvv 2752  {csn 3607   cuni 3824   class class class wbr 4018  1oc1o 6429  cen 6759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-suc 4386  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-1o 6436  df-en 6762
This theorem is referenced by:  en1uniel  6825
  Copyright terms: Public domain W3C validator