Theorem en1bg 6450

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ 𝐴 = {∪ 𝐴}))

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6449	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
2		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {𝑥})
3		unieq 3639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → ∪ 𝐴 = ∪ {𝑥})
4		vex 2617	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	unisn 3646	. . . . . . 7 ⊢ ∪ {𝑥} = 𝑥
6	3, 5	syl6eq 2133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → ∪ 𝐴 = 𝑥)
7	6	sneqd 3438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → {∪ 𝐴} = {𝑥})
8	2, 7	eqtr4d 2120	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {∪ 𝐴})
9	8	exlimiv 1532	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 𝐴 = {∪ 𝐴})
10	1, 9	sylbi 119	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1𝑜 → 𝐴 = {∪ 𝐴})
11		uniexg 4232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
12		ensn1g 6447	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → {∪ 𝐴} ≈ 1𝑜)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∪ 𝐴} ≈ 1𝑜)
14		breq1 3817	. . 3 ⊢ (𝐴 = {∪ 𝐴} → (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ {∪ 𝐴} ≈ 1𝑜))
15	13, 14	syl5ibrcom 155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = {∪ 𝐴} → 𝐴 ≈ 1𝑜))
16	10, 15	impbid2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ 𝐴 = {∪ 𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1287  ∃wex 1424   ∈ wcel 1436  Vcvv 2614  {csn 3425  ∪ cuni 3630   class class class wbr 3814  1_𝑜c1o 6109   ≈ cen 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-suc 4165  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-1o 6116  df-en 6391

This theorem is referenced by:  en1uniel  6454