ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfz1isolem1 Unicode version

Theorem zfz1isolem1 10210
Description: Lemma for zfz1iso 10211. Existence of an order isomorphism given the existence of shorter isomorphisms. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolem1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  om )
zfz1isolem1.h  |-  ( ph  ->  A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y ) ) )
zfz1isolem1.xz  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
zfz1isolem1.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
zfz1isolem1.xs  |-  ( ph  ->  X  ~~  suc  K
)
zfz1isolem1.mx  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
zfz1isolem1.m  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
Assertion
Ref Expression
zfz1isolem1  |-  ( ph  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
Distinct variable groups:    y, K    z, M    f, M, y    z, X    f, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, z, f)    K( z, f)

Proof of Theorem zfz1isolem1
Dummy variables  a  b  g  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfz1isolem1.xz . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
21ssdifssd 3136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { M } )  C_  ZZ )
3 zfz1isolem1.xf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4 zfz1isolem1.mx . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
5 diffisn 6589 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( X  \  { M } )  e.  Fin )
63, 4, 5syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { M } )  e.  Fin )
7 zfz1isolem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  om )
8 zfz1isolem1.xs . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  ~~  suc  K
)
9 dif1en 6575 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  om  /\  X  ~~  suc  K  /\  M  e.  X )  ->  ( X  \  { M } )  ~~  K
)
107, 8, 4, 9syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { M } )  ~~  K
)
112, 6, 10jca31 302 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
\  { M }
)  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M }
)  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K
) )
12 zfz1isolem1.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y ) ) )
13 sseq1 3045 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( y  C_  ZZ  <->  ( X  \  { M } )  C_  ZZ ) )
14 eleq1 2150 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( y  e.  Fin  <->  ( X  \  { M }
)  e.  Fin )
)
1513, 14anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) 
<->  ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e. 
Fin ) ) )
16 breq1 3840 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( y  ~~  K  <->  ( X  \  { M } )  ~~  K
) )
1715, 16anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( ( ( y 
C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  <->  ( (
( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K ) ) )
18 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( `  y )  =  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
1918oveq2d 5650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( 1 ... ( `  y ) )  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
20 isoeq4 5565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( `  y
) )  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  y ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  y ) ) )
22 isoeq5 5566 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2321, 22bitrd 186 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2423exbidv 1753 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( E. f  f 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  y ) ) ,  y )  <->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2517, 24imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y ) ) ,  y ) )  <->  ( (
( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e. 
Fin )  /\  ( X  \  { M }
)  ~~  K )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) ) )
2625spcgv 2706 . . . . . 6  |-  ( ( X  \  { M } )  e.  Fin  ->  ( A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y ) ) ,  y ) )  -> 
( ( ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) ) )
276, 26syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y ) ) ,  y ) )  -> 
( ( ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) ) )
2812, 27mpd 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2911, 28mpd 13 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
30 isoeq1 5562 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  <-> 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
3130cbvexv 1843 . . 3  |-  ( E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  <->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
3229, 31sylib 120 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
33 df-isom 5011 . . . . . . . . 9  |-  ( g 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  <-> 
( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
)  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ( u  <  v  <->  ( g `  u )  <  (
g `  v )
) ) )
3433biimpi 118 . . . . . . . 8  |-  ( g 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  ->  ( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) -1-1-onto-> ( X  \  { M } )  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ( u  <  v  <->  ( g `  u )  <  (
g `  v )
) ) )
3534adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) -1-1-onto-> ( X  \  { M } )  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ( u  <  v  <->  ( g `  u )  <  (
g `  v )
) ) )
3635simpld 110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
) )
37 hashcl 10154 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
383, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
3938adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
404adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  M  e.  X
)
41 f1osng 5278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `  X )  e.  NN0  /\  M  e.  X )  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. } : { ( `  X ) } -1-1-onto-> { M } )
4239, 40, 41syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. } : { ( `  X ) } -1-1-onto-> { M } )
43 fzp1disj 9461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  i^i 
{ ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 ) } )  =  (/)
44 hashdifsn 10192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
453, 4, 44syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
4645oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 )  =  ( ( ( `  X )  -  1 )  +  1 ) )
4738nn0cnd 8698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  CC )
48 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4947, 48npcand 7776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  X
)  -  1 )  +  1 )  =  ( `  X )
)
5046, 49eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 )  =  ( `  X
) )
5150sneqd 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 ) }  =  {
( `  X ) } )
5251ineq2d 3199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  i^i  {
( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  i^i  {
( `  X ) } ) )
5343, 52syl5reqr 2135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  i^i  {
( `  X ) } )  =  (/) )
5453adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  i^i 
{ ( `  X
) } )  =  (/) )
55 incom 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  { M } )  i^i  { M } )  =  ( { M }  i^i  ( X  \  { M } ) )
56 disjdif 3352 . . . . . . . 8  |-  ( { M }  i^i  ( X  \  { M }
) )  =  (/)
5755, 56eqtri 2108 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  { M } )  i^i  { M } )  =  (/)
5857a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( X 
\  { M }
)  i^i  { M } )  =  (/) )
59 f1oun 5257 . . . . . 6  |-  ( ( ( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
)  /\  { <. ( `  X ) ,  M >. } : { ( `  X ) } -1-1-onto-> { M } )  /\  ( ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  i^i 
{ ( `  X
) } )  =  (/)  /\  ( ( X 
\  { M }
)  i^i  { M } )  =  (/) ) )  ->  (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  { ( `  X
) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u.  { M } ) )
6036, 42, 54, 58, 59syl22anc 1175 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) )
613, 4zfz1isolemsplit 10208 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  X ) )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) )
62 fidifsnid 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } )  =  X )
633, 4, 62syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } )  =  X )
6463eqcomd 2093 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( X  \  { M } )  u.  { M } ) )
65 f1oeq23 5231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( `  X ) )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } )  /\  X  =  ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) )  ->  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X
) ) -1-1-onto-> X  <->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) ) )
6661, 64, 65syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X ) ) -1-1-onto-> X  <->  ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) ) )
6766adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X
) ) -1-1-onto-> X  <->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) ) )
6860, 67mpbird 165 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X ) ) -1-1-onto-> X )
693ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  X  e.  Fin )
701ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  X  C_  ZZ )
714ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  M  e.  X )
72 zfz1isolem1.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
7372ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
74 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
75 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
76 simprr 499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
7769, 70, 71, 73, 74, 75, 76zfz1isolemiso 10209 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  ( a  <  b  <->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  a
)  <  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  b
) ) )
7877ralrimivva 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  A. a  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) A. b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ( a  <  b  <->  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  a
)  <  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  b
) ) )
79 df-isom 5011 . . . 4  |-  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  <->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X
) ) -1-1-onto-> X  /\  A. a  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) A. b  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) ( a  <  b  <->  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  a
)  <  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  b
) ) ) )
8068, 78, 79sylanbrc 408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
81 vex 2622 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
8281a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  g  e.  _V )
83 opexg 4046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `  X )  e.  NN0  /\  M  e.  X )  ->  <. ( `  X ) ,  M >.  e.  _V )
8438, 4, 83syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. ( `  X ) ,  M >.  e.  _V )
85 snexg 4010 . . . . . . 7  |-  ( <.
( `  X ) ,  M >.  e.  _V  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. }  e.  _V )
8684, 85syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. }  e.  _V )
87 unexg 4259 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. ( `  X ) ,  M >. }  e.  _V )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  e. 
_V )
8882, 86, 87syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  e. 
_V )
89 isoeq1 5562 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  <->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) ) )
9089spcegv 2707 . . . . 5  |-  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  e.  _V  ->  ( ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X ) ) ,  X ) ) )
9188, 90syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X ) ) ,  X ) ) )
9291adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X ) ) ,  X ) ) )
9380, 92mpd 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
9432, 93exlimddv 1826 1  |-  ( ph  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619    \ cdif 2994    u. cun 2995    i^i cin 2996    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   <.cop 3444   class class class wbr 3837   suc csuc 4183   omcom 4395   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002    Isom wiso 5003  (class class class)co 5634    ~~ cen 6435   Fincfn 6437   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ...cfz 9393  ♯chash 10148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-ihash 10149
This theorem is referenced by:  zfz1iso  10211
  Copyright terms: Public domain W3C validator