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Theorem zfz1isolem1 10820
Description: Lemma for zfz1iso 10821. Existence of an order isomorphism given the existence of shorter isomorphisms. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolem1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  om )
zfz1isolem1.h  |-  ( ph  ->  A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y ) ) )
zfz1isolem1.xz  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
zfz1isolem1.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
zfz1isolem1.xs  |-  ( ph  ->  X  ~~  suc  K
)
zfz1isolem1.mx  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
zfz1isolem1.m  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
Assertion
Ref Expression
zfz1isolem1  |-  ( ph  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
Distinct variable groups:    y, K    z, M    f, M, y    z, X    f, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, z, f)    K( z, f)

Proof of Theorem zfz1isolem1
Dummy variables  a  b  g  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfz1isolem1.xz . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
21ssdifssd 3274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { M } )  C_  ZZ )
3 zfz1isolem1.xf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4 zfz1isolem1.mx . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
5 diffisn 6893 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( X  \  { M } )  e.  Fin )
63, 4, 5syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { M } )  e.  Fin )
7 zfz1isolem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  om )
8 zfz1isolem1.xs . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  ~~  suc  K
)
9 dif1en 6879 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  om  /\  X  ~~  suc  K  /\  M  e.  X )  ->  ( X  \  { M } )  ~~  K
)
107, 8, 4, 9syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { M } )  ~~  K
)
112, 6, 10jca31 309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
\  { M }
)  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M }
)  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K
) )
12 zfz1isolem1.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y ) ) )
13 sseq1 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( y  C_  ZZ  <->  ( X  \  { M } )  C_  ZZ ) )
14 eleq1 2240 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( y  e.  Fin  <->  ( X  \  { M }
)  e.  Fin )
)
1513, 14anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) 
<->  ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e. 
Fin ) ) )
16 breq1 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( y  ~~  K  <->  ( X  \  { M } )  ~~  K
) )
1715, 16anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( ( ( y 
C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  <->  ( (
( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K ) ) )
18 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( `  y )  =  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
1918oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( 1 ... ( `  y ) )  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
20 isoeq4 5805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( `  y
) )  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  y ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  y ) ) )
22 isoeq5 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2321, 22bitrd 188 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y
) ) ,  y )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2423exbidv 1825 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( E. f  f 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  y ) ) ,  y )  <->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2517, 24imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( X  \  { M } )  -> 
( ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y ) ) ,  y ) )  <->  ( (
( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e. 
Fin )  /\  ( X  \  { M }
)  ~~  K )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) ) )
2625spcgv 2825 . . . . . 6  |-  ( ( X  \  { M } )  e.  Fin  ->  ( A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y ) ) ,  y ) )  -> 
( ( ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) ) )
276, 26syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y ( ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  y  ~~  K
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  y ) ) ,  y ) )  -> 
( ( ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) ) )
2812, 27mpd 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  \  { M } )  C_  ZZ  /\  ( X  \  { M } )  e.  Fin )  /\  ( X  \  { M } )  ~~  K )  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
2911, 28mpd 13 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
30 isoeq1 5802 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  <-> 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) ) )
3130cbvexv 1918 . . 3  |-  ( E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  <->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
3229, 31sylib 122 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
33 df-isom 5226 . . . . . . . . 9  |-  ( g 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  <-> 
( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
)  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ( u  <  v  <->  ( g `  u )  <  (
g `  v )
) ) )
3433biimpi 120 . . . . . . . 8  |-  ( g 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  ->  ( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) -1-1-onto-> ( X  \  { M } )  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ( u  <  v  <->  ( g `  u )  <  (
g `  v )
) ) )
3534adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) -1-1-onto-> ( X  \  { M } )  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ( u  <  v  <->  ( g `  u )  <  (
g `  v )
) ) )
3635simpld 112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
) )
37 hashcl 10761 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
383, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
3938adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
404adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  M  e.  X
)
41 f1osng 5503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `  X )  e.  NN0  /\  M  e.  X )  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. } : { ( `  X ) } -1-1-onto-> { M } )
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. } : { ( `  X ) } -1-1-onto-> { M } )
43 hashdifsn 10799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
443, 4, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
4544oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 )  =  ( ( ( `  X )  -  1 )  +  1 ) )
4638nn0cnd 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  CC )
47 1cnd 7973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4846, 47npcand 8272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  X
)  -  1 )  +  1 )  =  ( `  X )
)
4945, 48eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 )  =  ( `  X
) )
5049sneqd 3606 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 ) }  =  {
( `  X ) } )
5150ineq2d 3337 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  i^i  {
( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  i^i  {
( `  X ) } ) )
52 fzp1disj 10080 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  i^i 
{ ( ( `  ( X  \  { M }
) )  +  1 ) } )  =  (/)
5351, 52eqtr3di 2225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  i^i  {
( `  X ) } )  =  (/) )
5453adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  i^i 
{ ( `  X
) } )  =  (/) )
55 incom 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  { M } )  i^i  { M } )  =  ( { M }  i^i  ( X  \  { M } ) )
56 disjdif 3496 . . . . . . . 8  |-  ( { M }  i^i  ( X  \  { M }
) )  =  (/)
5755, 56eqtri 2198 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  { M } )  i^i  { M } )  =  (/)
5857a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( X 
\  { M }
)  i^i  { M } )  =  (/) )
59 f1oun 5482 . . . . . 6  |-  ( ( ( g : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
)  /\  { <. ( `  X ) ,  M >. } : { ( `  X ) } -1-1-onto-> { M } )  /\  ( ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  i^i 
{ ( `  X
) } )  =  (/)  /\  ( ( X 
\  { M }
)  i^i  { M } )  =  (/) ) )  ->  (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  { ( `  X
) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u.  { M } ) )
6036, 42, 54, 58, 59syl22anc 1239 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) )
613, 4zfz1isolemsplit 10818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  X ) )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) )
62 fidifsnid 6871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } )  =  X )
633, 4, 62syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } )  =  X )
6463eqcomd 2183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( X  \  { M } )  u.  { M } ) )
65 f1oeq23 5453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( `  X ) )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } )  /\  X  =  ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) )  ->  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X
) ) -1-1-onto-> X  <->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) ) )
6661, 64, 65syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X ) ) -1-1-onto-> X  <->  ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) ) )
6766adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X
) ) -1-1-onto-> X  <->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) -1-1-onto-> ( ( X  \  { M } )  u. 
{ M } ) ) )
6860, 67mpbird 167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X ) ) -1-1-onto-> X )
693ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  X  e.  Fin )
701ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  X  C_  ZZ )
714ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  M  e.  X )
72 zfz1isolem1.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
7372ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
74 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
75 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
76 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
7769, 70, 71, 73, 74, 75, 76zfz1isolemiso 10819 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  /\  ( a  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  /\  b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ) )  ->  ( a  <  b  <->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  a
)  <  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  b
) ) )
7877ralrimivva 2559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  A. a  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) A. b  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) ( a  <  b  <->  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  a
)  <  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  b
) ) )
79 df-isom 5226 . . . 4  |-  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  <->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) : ( 1 ... ( `  X
) ) -1-1-onto-> X  /\  A. a  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) A. b  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) ( a  <  b  <->  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  a
)  <  ( (
g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  b
) ) ) )
8068, 78, 79sylanbrc 417 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
81 vex 2741 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
8281a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  g  e.  _V )
83 opexg 4229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `  X )  e.  NN0  /\  M  e.  X )  ->  <. ( `  X ) ,  M >.  e.  _V )
8438, 4, 83syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. ( `  X ) ,  M >.  e.  _V )
85 snexg 4185 . . . . . . 7  |-  ( <.
( `  X ) ,  M >.  e.  _V  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. }  e.  _V )
8684, 85syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( `  X ) ,  M >. }  e.  _V )
87 unexg 4444 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. ( `  X ) ,  M >. }  e.  _V )  ->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  e. 
_V )
8882, 86, 87syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  e. 
_V )
89 isoeq1 5802 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  -> 
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  <->  ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) ) )
9089spcegv 2826 . . . . 5  |-  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  e.  _V  ->  ( ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X ) ) ,  X ) ) )
9188, 90syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X ) ) ,  X ) ) )
9291adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } )  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X ) ) ,  X ) ) )
9380, 92mpd 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
9432, 93exlimddv 1898 1  |-  ( ph  ->  E. f  f  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  X
) ) ,  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738    \ cdif 3127    u. cun 3128    i^i cin 3129    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   <.cop 3596   class class class wbr 4004   suc csuc 4366   omcom 4590   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217    Isom wiso 5218  (class class class)co 5875    ~~ cen 6738   Fincfn 6740   1c1 7812    + caddc 7814    < clt 7992    <_ cle 7993    - cmin 8128   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ...cfz 10008  ♯chash 10755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-ihash 10756
This theorem is referenced by:  zfz1iso  10821
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