Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfz1isolem1 Unicode version

Theorem zfz1isolem1 10616
 Description: Lemma for zfz1iso 10617. Existence of an order isomorphism given the existence of shorter isomorphisms. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolem1.k
zfz1isolem1.h
zfz1isolem1.xz
zfz1isolem1.xf
zfz1isolem1.xs
zfz1isolem1.mx
zfz1isolem1.m
Assertion
Ref Expression
zfz1isolem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)

Proof of Theorem zfz1isolem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfz1isolem1.xz . . . . . 6
21ssdifssd 3219 . . . . 5
3 zfz1isolem1.xf . . . . . 6
4 zfz1isolem1.mx . . . . . 6
5 diffisn 6795 . . . . . 6
63, 4, 5syl2anc 409 . . . . 5
7 zfz1isolem1.k . . . . . 6
8 zfz1isolem1.xs . . . . . 6
9 dif1en 6781 . . . . . 6
107, 8, 4, 9syl3anc 1217 . . . . 5
112, 6, 10jca31 307 . . . 4
12 zfz1isolem1.h . . . . 5
13 sseq1 3125 . . . . . . . . . 10
14 eleq1 2203 . . . . . . . . . 10
1513, 14anbi12d 465 . . . . . . . . 9
16 breq1 3940 . . . . . . . . 9
1715, 16anbi12d 465 . . . . . . . 8
18 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . 12
1918oveq2d 5798 . . . . . . . . . . 11
20 isoeq4 5713 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . 10
22 isoeq5 5714 . . . . . . . . . 10
2321, 22bitrd 187 . . . . . . . . 9
2423exbidv 1798 . . . . . . . 8
2517, 24imbi12d 233 . . . . . . 7
2625spcgv 2776 . . . . . 6
276, 26syl 14 . . . . 5
2812, 27mpd 13 . . . 4
2911, 28mpd 13 . . 3
30 isoeq1 5710 . . . 4
3130cbvexv 1891 . . 3
3229, 31sylib 121 . 2
33 df-isom 5140 . . . . . . . . 9
3433biimpi 119 . . . . . . . 8
3534adantl 275 . . . . . . 7
3635simpld 111 . . . . . 6
37 hashcl 10560 . . . . . . . . 9
383, 37syl 14 . . . . . . . 8
3938adantr 274 . . . . . . 7
404adantr 274 . . . . . . 7
41 f1osng 5416 . . . . . . 7
4239, 40, 41syl2anc 409 . . . . . 6
43 fzp1disj 9892 . . . . . . . 8
44 hashdifsn 10598 . . . . . . . . . . . . 13
453, 4, 44syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
4645oveq1d 5797 . . . . . . . . . . 11
4738nn0cnd 9057 . . . . . . . . . . . 12
48 1cnd 7807 . . . . . . . . . . . 12
4947, 48npcand 8102 . . . . . . . . . . 11
5046, 49eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10
5150sneqd 3545 . . . . . . . . 9
5251ineq2d 3282 . . . . . . . 8
5343, 52syl5reqr 2188 . . . . . . 7
5453adantr 274 . . . . . 6
55 incom 3273 . . . . . . . 8
56 disjdif 3440 . . . . . . . 8
5755, 56eqtri 2161 . . . . . . 7
5857a1i 9 . . . . . 6
59 f1oun 5395 . . . . . 6
6036, 42, 54, 58, 59syl22anc 1218 . . . . 5
613, 4zfz1isolemsplit 10614 . . . . . . 7
62 fidifsnid 6773 . . . . . . . . 9
633, 4, 62syl2anc 409 . . . . . . . 8
6463eqcomd 2146 . . . . . . 7
65 f1oeq23 5367 . . . . . . 7
6661, 64, 65syl2anc 409 . . . . . 6
6766adantr 274 . . . . 5
6860, 67mpbird 166 . . . 4
693ad2antrr 480 . . . . . 6
701ad2antrr 480 . . . . . 6
714ad2antrr 480 . . . . . 6
72 zfz1isolem1.m . . . . . . 7
7372ad2antrr 480 . . . . . 6
74 simplr 520 . . . . . 6
75 simprl 521 . . . . . 6
76 simprr 522 . . . . . 6
7769, 70, 71, 73, 74, 75, 76zfz1isolemiso 10615 . . . . 5
7877ralrimivva 2517 . . . 4
79 df-isom 5140 . . . 4
8068, 78, 79sylanbrc 414 . . 3
81 vex 2692 . . . . . . 7
8281a1i 9 . . . . . 6
83 opexg 4158 . . . . . . . 8
8438, 4, 83syl2anc 409 . . . . . . 7
85 snexg 4116 . . . . . . 7
8684, 85syl 14 . . . . . 6
87 unexg 4372 . . . . . 6
8882, 86, 87syl2anc 409 . . . . 5
89 isoeq1 5710 . . . . . 6
9089spcegv 2777 . . . . 5
9188, 90syl 14 . . . 4
9291adantr 274 . . 3
9380, 92mpd 13 . 2
9432, 93exlimddv 1871 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104  wal 1330   wceq 1332  wex 1469   wcel 1481  wral 2417  cvv 2689   cdif 3073   cun 3074   cin 3075   wss 3076  c0 3368  csn 3532  cop 3535   class class class wbr 3937   csuc 4295  com 4512  wf1o 5130  cfv 5131   wiso 5132  (class class class)co 5782   cen 6640  cfn 6642  c1 7646   caddc 7648   clt 7825   cle 7826   cmin 7958  cn0 9002  cz 9079  cfz 9822  ♯chash 10554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-addcom 7745  ax-addass 7747  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-inn 8746  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-fz 9823  df-ihash 10555 This theorem is referenced by:  zfz1iso  10617
 Copyright terms: Public domain W3C validator