Theorem 1fv 10296

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	|- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) )

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9418	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2		f1osng 5586	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. V ) -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
3	1, 2	mpan 424	. . . . 5 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4		f1ofo 5551	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5		dffo2 5524	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } <-> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } -> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) )
7		fzsn 10223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
9	8	eqcomi 2211	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
10	9	feq2i 5439	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } <-> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12		snssi 3788	. . . . . . . . 9 |- ( N e. V -> { N } C_ V )
13		fss 5457	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } /\ { N } C_ V ) -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ N e. V ) -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
15	14	ex 115	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19		fvsng 5803	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. V ) -> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N )
20	1, 19	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N )
21	18, 20	jca 306	. . 3 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
22	21	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
23		feq1 5428	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V <-> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24		fveq1 5598	. . . . 5 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P ` 0 ) = ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) )
25	24	eqeq1d 2216	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( ( P ` 0 ) = N <-> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . 3 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) <-> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) ) )
27	26	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) <-> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) ) )
28	22, 27	mpbird 167	1 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   {csn 3643   <.cop 3646   ran crn 4694   -->wf 5286   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   ZZcz 9407   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-apti 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by: (None)