ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1fv Unicode version

Theorem 1fv 9538
Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 8751 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 f1osng 5288 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
31, 2mpan 415 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4 f1ofo 5254 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5 dffo2 5231 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
65biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
7 fzsn 9469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
81, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98eqcomi 2092 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
109feq2i 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  <->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
1110biimpi 118 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12 snssi 3579 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  { N }  C_  V )
13 fss 5166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N }  /\  { N }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1411, 12, 13syl2an 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  N  e.  V
)  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1514ex 113 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
1615adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } )  ->  ( N  e.  V  ->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
174, 6, 163syl 17 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
183, 17mpcom 36 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19 fvsng 5487 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0
)  =  N )
201, 19mpan 415 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N )
2118, 20jca 300 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2221adantr 270 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( {
<. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) )
23 feq1 5139 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24 fveq1 5298 . . . . 5  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 ) )
2524eqeq1d 2096 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P `  0
)  =  N  <->  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2623, 25anbi12d 457 . . 3  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2726adantl 271 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( ( P :
( 0 ... 0
) --> V  /\  ( P `  0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2822, 27mpbird 165 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    C_ wss 2999   {csn 3444   <.cop 3447   ran crn 4437   -->wf 5006   -onto->wfo 5008   -1-1-onto->wf1o 5009   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   0cc0 7340   ZZcz 8740   ...cfz 9414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1re 7429  ax-addrcl 7432  ax-rnegex 7444  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-apti 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-neg 7646  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator