Theorem 1fv 10074

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	|- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) )

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9202	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2		f1osng 5473	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. V ) -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
3	1, 2	mpan 421	. . . . 5 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4		f1ofo 5439	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5		dffo2 5414	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } <-> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) )
6	5	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } -> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) )
7		fzsn 10001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
9	8	eqcomi 2169	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
10	9	feq2i 5331	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } <-> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12		snssi 3717	. . . . . . . . 9 |- ( N e. V -> { N } C_ V )
13		fss 5349	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } /\ { N } C_ V ) -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
14	11, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ N e. V ) -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
15	14	ex 114	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
16	15	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19		fvsng 5681	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. V ) -> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N )
20	1, 19	mpan 421	. . . 4 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N )
21	18, 20	jca 304	. . 3 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
22	21	adantr 274	. 2 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
23		feq1 5320	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V <-> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24		fveq1 5485	. . . . 5 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P ` 0 ) = ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) )
25	24	eqeq1d 2174	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( ( P ` 0 ) = N <-> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
26	23, 25	anbi12d 465	. . 3 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) <-> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) ) )
27	26	adantl 275	. 2 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) <-> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) ) )
28	22, 27	mpbird 166	1 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   {csn 3576   <.cop 3579   ran crn 4605   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   0cc0 7753   ZZcz 9191   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by: (None)