Theorem 1fv 10263

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	|- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) )

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9385	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2		f1osng 5565	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. V ) -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
3	1, 2	mpan 424	. . . . 5 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4		f1ofo 5531	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5		dffo2 5504	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } <-> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } -> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) )
7		fzsn 10190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
9	8	eqcomi 2209	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
10	9	feq2i 5421	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } <-> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12		snssi 3777	. . . . . . . . 9 |- ( N e. V -> { N } C_ V )
13		fss 5439	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } /\ { N } C_ V ) -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ N e. V ) -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
15	14	ex 115	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N } ) -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19		fvsng 5782	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. V ) -> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N )
20	1, 19	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N )
21	18, 20	jca 306	. . 3 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
22	21	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
23		feq1 5410	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V <-> { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24		fveq1 5577	. . . . 5 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P ` 0 ) = ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) )
25	24	eqeq1d 2214	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( ( P ` 0 ) = N <-> ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . 3 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) <-> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) ) )
27	26	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) <-> ( { <. 0 , N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0 ) = N ) ) )
28	22, 27	mpbird 167	1 |- ( ( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. } ) -> ( P : ( 0 ... 0 ) --> V /\ ( P ` 0 ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   {csn 3633   <.cop 3636   ran crn 4677   -->wf 5268   -onto->wfo 5270   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   0cc0 7927   ZZcz 9374   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-apti 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by: (None)