Theorem prodsnf 11555

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 11556 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	|- F/_ k B
prodsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables m n j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2312	. . . 4 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3082	. . . 4 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3058	. . . 4 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvprodi 11523	. . 3 |- prod_ k e. { M } A = prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3052	. . . 4 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 8889	. . . . 5 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		1z 9238	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		f1osng 5483	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10		fzsn 10022	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
12		f1oeq2 5432	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
14	9, 13	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
15	8, 14	mpan 422	. . . . 5 |- ( M e. V -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
17		velsn 3600	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
18		csbeq1 3052	. . . . . . 7 |- ( m = M -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3092	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24	18, 23	sylan9eqr 2225	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m = M ) -> [_ m / k ]_ A = B )
25	17, 24	sylan2b 285	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = B )
26		simplr 525	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
27	25, 26	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
28	11	eleq2i 2237	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n e. { 1 } )
29		velsn 3600	. . . . . 6 |- ( n e. { 1 } <-> n = 1 )
30	28, 29	bitri 183	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n = 1 )
31		fvsng 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	8, 31	mpan 422	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. V -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
34	33	csbeq1d 3056	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
35		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	8, 35, 36	sylancr 412	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2214	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
39		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
40		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
41	40	csbeq1d 3056	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
42	39, 41	eqeq12d 2185	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A <-> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A ) )
43	38, 42	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A ) )
44	43	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n = 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
45	30, 44	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 11546	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
47	4, 46	eqtrid 2215	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
48		1zzd 9239	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
49		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) )
50		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( n <_ 1 <-> j <_ 1 ) )
51		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` j ) )
52	50, 51	ifbieq1d 3548	. . . . . 6 |- ( n = j -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
53		elnnuz 9523	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
54	53	biimpri 132	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
55	54	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j <_ 1 )
57		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ j )
58	57	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 <_ j )
59	54	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
60	59	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. ZZ )
61	60	zred 9334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. RR )
62		1red 7935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 e. RR )
63	61, 62	letri3d 8035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( j = 1 <-> ( j <_ 1 /\ 1 <_ j ) ) )
64	56, 58, 63	mpbir2and 939	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j = 1 )
65	64	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
66	37	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
67	65, 66	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = B )
68	35	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> B e. CC )
69	67, 68	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) e. CC )
70		1cnd 7936	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. j <_ 1 ) -> 1 e. CC )
71	55	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
72		1zzd 9239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
73		zdcle 9288	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID j <_ 1 )
74	71, 72, 73	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID j <_ 1 )
75	69, 70, 74	ifcldadc 3555	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) e. CC )
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5589	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
77	76, 75	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) e. CC )
78		mulcl 7901	. . . . 5 |- ( ( j e. CC /\ q e. CC ) -> ( j x. q ) e. CC )
79	78	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( j e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( j x. q ) e. CC )
80	48, 77, 79	seq3-1 10416	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) )
81		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
82	81, 39	ifbieq1d 3548	. . . . 5 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
83		1le1 8491	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
84	83	iftruei 3532	. . . . . . 7 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
85	84, 37	eqtrid 2215	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = B )
86	85, 35	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) e. CC )
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5589	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
88	87, 85	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = B )
89	80, 88	eqtrd 2203	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = B )
90	47, 89	eqtrd 2203	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   [_csb 3049   ifcif 3526   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775   x. cmul 7779   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  prodsn  11556  fprodunsn  11567  fprodsplitsn  11596