Theorem prodsnf 12337

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 12338 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	|- F/_ k B
prodsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables m n j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3180	. . . 4 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3156	. . . 4 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvprodi 12305	. . 3 |- prod_ k e. { M } A = prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3150	. . . 4 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9294	. . . . 5 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		1z 9649	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		f1osng 5677	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10		fzsn 10450	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
12		f1oeq2 5623	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
14	9, 13	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
15	8, 14	mpan 428	. . . . 5 |- ( M e. V -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
17		velsn 3722	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
18		csbeq1 3150	. . . . . . 7 |- ( m = M -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3191	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24	18, 23	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m = M ) -> [_ m / k ]_ A = B )
25	17, 24	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = B )
26		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
27	25, 26	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
28	11	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n e. { 1 } )
29		velsn 3722	. . . . . 6 |- ( n e. { 1 } <-> n = 1 )
30	28, 29	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n = 1 )
31		fvsng 5902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	8, 31	mpan 428	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. V -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
34	33	csbeq1d 3154	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
35		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5902	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	8, 35, 36	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
39		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
40		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
41	40	csbeq1d 3154	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
42	39, 41	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A <-> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A ) )
43	38, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A ) )
44	43	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n = 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
45	30, 44	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 12328	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
47	4, 46	eqtrid 2283	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
48		1zzd 9650	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
49		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) )
50		breq1 4128	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( n <_ 1 <-> j <_ 1 ) )
51		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` j ) )
52	50, 51	ifbieq1d 3660	. . . . . 6 |- ( n = j -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
53		elnnuz 9938	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
54	53	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
55	54	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j <_ 1 )
57		eluzle 9913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ j )
58	57	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 <_ j )
59	54	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
60	59	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. ZZ )
61	60	zred 9747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. RR )
62		1red 8331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 e. RR )
63	61, 62	letri3d 8431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( j = 1 <-> ( j <_ 1 /\ 1 <_ j ) ) )
64	56, 58, 63	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j = 1 )
65	64	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
66	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
67	65, 66	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = B )
68	35	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> B e. CC )
69	67, 68	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) e. CC )
70		1cnd 8332	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. j <_ 1 ) -> 1 e. CC )
71	55	nnzd 9746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
72		1zzd 9650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
73		zdcle 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID j <_ 1 )
74	71, 72, 73	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID j <_ 1 )
75	69, 70, 74	ifcldadc 3667	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) e. CC )
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5793	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
77	76, 75	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) e. CC )
78		mulcl 8296	. . . . 5 |- ( ( j e. CC /\ q e. CC ) -> ( j x. q ) e. CC )
79	78	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( j e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( j x. q ) e. CC )
80	48, 77, 79	seq3-1 10877	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) )
81		breq1 4128	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
82	81, 39	ifbieq1d 3660	. . . . 5 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
83		1le1 8890	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
84	83	iftruei 3643	. . . . . . 7 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
85	84, 37	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = B )
86	85, 35	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) e. CC )
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5793	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
88	87, 85	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = B )
89	80, 88	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = B )
90	47, 89	eqtrd 2271	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   F/_wnfc 2379   [_csb 3147   ifcif 3635   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   1c1 8170   x. cmul 8174   <_ cle 8351   NNcn 9283   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862   prod_cprod 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-proddc 12296

This theorem is referenced by:  prodsn  12338  fprodunsn  12349  fprodsplitsn  12378