Theorem prodsnf 11776

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 11777 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	|- F/_ k B
prodsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables m n j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3117	. . . 4 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3093	. . . 4 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvprodi 11744	. . 3 |- prod_ k e. { M } A = prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3087	. . . 4 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9020	. . . . 5 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		1z 9371	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		f1osng 5548	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10		fzsn 10160	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
12		f1oeq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
14	9, 13	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
15	8, 14	mpan 424	. . . . 5 |- ( M e. V -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
17		velsn 3640	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
18		csbeq1 3087	. . . . . . 7 |- ( m = M -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3128	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24	18, 23	sylan9eqr 2251	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m = M ) -> [_ m / k ]_ A = B )
25	17, 24	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = B )
26		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
27	25, 26	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
28	11	eleq2i 2263	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n e. { 1 } )
29		velsn 3640	. . . . . 6 |- ( n e. { 1 } <-> n = 1 )
30	28, 29	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n = 1 )
31		fvsng 5761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	8, 31	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. V -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
34	33	csbeq1d 3091	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
35		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5761	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	8, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
39		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
40		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
41	40	csbeq1d 3091	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
42	39, 41	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A <-> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A ) )
43	38, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A ) )
44	43	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n = 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
45	30, 44	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 11767	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
47	4, 46	eqtrid 2241	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
48		1zzd 9372	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
49		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) )
50		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( n <_ 1 <-> j <_ 1 ) )
51		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` j ) )
52	50, 51	ifbieq1d 3584	. . . . . 6 |- ( n = j -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
53		elnnuz 9657	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
54	53	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
55	54	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j <_ 1 )
57		eluzle 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ j )
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 <_ j )
59	54	nnzd 9466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
60	59	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. ZZ )
61	60	zred 9467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. RR )
62		1red 8060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 e. RR )
63	61, 62	letri3d 8161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( j = 1 <-> ( j <_ 1 /\ 1 <_ j ) ) )
64	56, 58, 63	mpbir2and 946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j = 1 )
65	64	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
66	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
67	65, 66	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = B )
68	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> B e. CC )
69	67, 68	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) e. CC )
70		1cnd 8061	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. j <_ 1 ) -> 1 e. CC )
71	55	nnzd 9466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
72		1zzd 9372	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
73		zdcle 9421	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID j <_ 1 )
74	71, 72, 73	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID j <_ 1 )
75	69, 70, 74	ifcldadc 3591	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) e. CC )
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5658	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
77	76, 75	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) e. CC )
78		mulcl 8025	. . . . 5 |- ( ( j e. CC /\ q e. CC ) -> ( j x. q ) e. CC )
79	78	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( j e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( j x. q ) e. CC )
80	48, 77, 79	seq3-1 10573	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) )
81		breq1 4037	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
82	81, 39	ifbieq1d 3584	. . . . 5 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
83		1le1 8618	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
84	83	iftruei 3568	. . . . . . 7 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
85	84, 37	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = B )
86	85, 35	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) e. CC )
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5658	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
88	87, 85	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = B )
89	80, 88	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = B )
90	47, 89	eqtrd 2229	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   F/_wnfc 2326   [_csb 3084   ifcif 3562   {csn 3623   <.cop 3626   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7896   1c1 7899   x. cmul 7903   <_ cle 8081   NNcn 9009   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   ...cfz 10102   seqcseq 10558   prod_cprod 11734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-proddc 11735

This theorem is referenced by:  prodsn  11777  fprodunsn  11788  fprodsplitsn  11817