Theorem prodsnf 12143

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 12144 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	|- F/_ k B
prodsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables m n j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3158	. . . 4 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3134	. . . 4 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvprodi 12111	. . 3 |- prod_ k e. { M } A = prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3128	. . . 4 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9144	. . . . 5 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		1z 9495	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		f1osng 5622	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10		fzsn 10291	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
12		f1oeq2 5569	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
14	9, 13	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
15	8, 14	mpan 424	. . . . 5 |- ( M e. V -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
17		velsn 3684	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
18		csbeq1 3128	. . . . . . 7 |- ( m = M -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3169	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24	18, 23	sylan9eqr 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m = M ) -> [_ m / k ]_ A = B )
25	17, 24	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = B )
26		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
27	25, 26	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
28	11	eleq2i 2296	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n e. { 1 } )
29		velsn 3684	. . . . . 6 |- ( n e. { 1 } <-> n = 1 )
30	28, 29	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n = 1 )
31		fvsng 5845	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	8, 31	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. V -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
34	33	csbeq1d 3132	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
35		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5845	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	8, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
39		fveq2 5635	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
40		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
41	40	csbeq1d 3132	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
42	39, 41	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A <-> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A ) )
43	38, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A ) )
44	43	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n = 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
45	30, 44	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 12134	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
47	4, 46	eqtrid 2274	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
48		1zzd 9496	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
49		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) )
50		breq1 4089	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( n <_ 1 <-> j <_ 1 ) )
51		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` j ) )
52	50, 51	ifbieq1d 3626	. . . . . 6 |- ( n = j -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
53		elnnuz 9783	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
54	53	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
55	54	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j <_ 1 )
57		eluzle 9758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ j )
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 <_ j )
59	54	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
60	59	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. ZZ )
61	60	zred 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. RR )
62		1red 8184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 e. RR )
63	61, 62	letri3d 8285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( j = 1 <-> ( j <_ 1 /\ 1 <_ j ) ) )
64	56, 58, 63	mpbir2and 950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j = 1 )
65	64	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
66	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
67	65, 66	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = B )
68	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> B e. CC )
69	67, 68	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) e. CC )
70		1cnd 8185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. j <_ 1 ) -> 1 e. CC )
71	55	nnzd 9591	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
72		1zzd 9496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
73		zdcle 9546	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID j <_ 1 )
74	71, 72, 73	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID j <_ 1 )
75	69, 70, 74	ifcldadc 3633	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) e. CC )
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5736	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
77	76, 75	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) e. CC )
78		mulcl 8149	. . . . 5 |- ( ( j e. CC /\ q e. CC ) -> ( j x. q ) e. CC )
79	78	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( j e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( j x. q ) e. CC )
80	48, 77, 79	seq3-1 10714	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) )
81		breq1 4089	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
82	81, 39	ifbieq1d 3626	. . . . 5 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
83		1le1 8742	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
84	83	iftruei 3609	. . . . . . 7 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
85	84, 37	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = B )
86	85, 35	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) e. CC )
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5736	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
88	87, 85	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = B )
89	80, 88	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = B )
90	47, 89	eqtrd 2262	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   [_csb 3125   ifcif 3603   {csn 3667   <.cop 3670   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   1c1 8023   x. cmul 8027   <_ cle 8205   NNcn 9133   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233   seqcseq 10699   prod_cprod 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102

This theorem is referenced by:  prodsn  12144  fprodunsn  12155  fprodsplitsn  12184