Theorem prodsnf 12152

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 12153 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	|- F/_ k B
prodsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables m n j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3160	. . . 4 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3136	. . . 4 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvprodi 12120	. . 3 |- prod_ k e. { M } A = prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3130	. . . 4 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9153	. . . . 5 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		1z 9504	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		f1osng 5626	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10		fzsn 10300	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
12		f1oeq2 5572	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
14	9, 13	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
15	8, 14	mpan 424	. . . . 5 |- ( M e. V -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
17		velsn 3686	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
18		csbeq1 3130	. . . . . . 7 |- ( m = M -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3171	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24	18, 23	sylan9eqr 2286	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m = M ) -> [_ m / k ]_ A = B )
25	17, 24	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = B )
26		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
27	25, 26	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
28	11	eleq2i 2298	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n e. { 1 } )
29		velsn 3686	. . . . . 6 |- ( n e. { 1 } <-> n = 1 )
30	28, 29	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) <-> n = 1 )
31		fvsng 5849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	8, 31	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. V -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
34	33	csbeq1d 3134	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
35		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5849	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	8, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
39		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
40		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
41	40	csbeq1d 3134	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A )
42	39, 41	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A <-> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) / k ]_ A ) )
43	38, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A ) )
44	43	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n = 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
45	30, 44	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 12143	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
47	4, 46	eqtrid 2276	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) )
48		1zzd 9505	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
49		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) )
50		breq1 4091	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( n <_ 1 <-> j <_ 1 ) )
51		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` j ) )
52	50, 51	ifbieq1d 3628	. . . . . 6 |- ( n = j -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
53		elnnuz 9792	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
54	53	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
55	54	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j <_ 1 )
57		eluzle 9767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ j )
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 <_ j )
59	54	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. ZZ )
60	59	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. ZZ )
61	60	zred 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j e. RR )
62		1red 8193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> 1 e. RR )
63	61, 62	letri3d 8294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( j = 1 <-> ( j <_ 1 /\ 1 <_ j ) ) )
64	56, 58, 63	mpbir2and 952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> j = 1 )
65	64	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
66	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
67	65, 66	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) = B )
68	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> B e. CC )
69	67, 68	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ j <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` j ) e. CC )
70		1cnd 8194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. j <_ 1 ) -> 1 e. CC )
71	55	nnzd 9600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. ZZ )
72		1zzd 9505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
73		zdcle 9555	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID j <_ 1 )
74	71, 72, 73	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID j <_ 1 )
75	69, 70, 74	ifcldadc 3635	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) e. CC )
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5740	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) = if ( j <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` j ) , 1 ) )
77	76, 75	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` j ) e. CC )
78		mulcl 8158	. . . . 5 |- ( ( j e. CC /\ q e. CC ) -> ( j x. q ) e. CC )
79	78	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( j e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( j x. q ) e. CC )
80	48, 77, 79	seq3-1 10723	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) )
81		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
82	81, 39	ifbieq1d 3628	. . . . 5 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
83		1le1 8751	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
84	83	iftruei 3611	. . . . . . 7 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
85	84, 37	eqtrid 2276	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) = B )
86	85, 35	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) e. CC )
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5740	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 1 ) )
88	87, 85	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ` 1 ) = B )
89	80, 88	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 1 ) ) ) ` 1 ) = B )
90	47, 89	eqtrd 2264	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   F/_wnfc 2361   [_csb 3127   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   1c1 8032   x. cmul 8036   <_ cle 8214   NNcn 9142   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708   prod_cprod 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-proddc 12111

This theorem is referenced by:  prodsn  12153  fprodunsn  12164  fprodsplitsn  12193