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Theorem fdcf1 7306
Description: It is decidable whether a function from a finite set into another finite set is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2026.)
Assertion
Ref Expression
fdcf1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> DECID F : A -1-1-> B )
Proof of Theorem fdcf1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1030 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> F : A --> B )
21orcd 745 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> ( F : A --> B \/ -. F : A --> B ) )
3 df-dc 847 . . . 4 |- (DECID F : A --> B <-> ( F : A --> B \/ -. F : A --> B ) )
42, 3sylibr 134 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> DECID F : A --> B )
5 simp1 1028 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> A e. Fin )
65adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> A e. Fin )
7 simpll2 1068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> B e. Fin )
8 simpll3 1069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> F : A --> B )
9 simplr 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. A )
108, 9ffvelcdmd 5835 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
128, 11ffvelcdmd 5835 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. B )
13 fidceq 7161 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. Fin /\ ( F ` x ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) -> DECID ( F ` x ) = ( F ` y ) )
147, 10, 12, 13syl3anc 1278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> DECID ( F ` x ) = ( F ` y ) )
156adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A e. Fin )
16 fidceq 7161 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
1715, 9, 11, 16syl3anc 1278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> DECID x = y )
18 dcim 853 . . . . . . . 8 |- (DECID ( F ` x ) = ( F ` y ) -> (DECID x = y -> DECID ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> DECID ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
2019ralrimiva 2623 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> A. y e. A DECID ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
21 dcfi 7305 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A DECID ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) -> DECID A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
226, 20, 21syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> DECID A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
2322ralrimiva 2623 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> A. x e. A DECID A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
24 dcfi 7305 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) -> DECID A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
255, 23, 24syl2anc 415 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> DECID A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
264, 25dcand 945 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> DECID ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
27 dff13 5964 . . 3 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
2827dcbii 852 . 2 |- (DECID F : A -1-1-> B <-> DECID ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
2926, 28sylibr 134 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ F : A --> B ) -> DECID F : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   ` cfv 5372   Fincfn 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015
This theorem is referenced by:  f1setfi  7307
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