Theorem f1setfi 7317

Description: The set of injections between two finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
f1setfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem f1setfi

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6932	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
3		mapfi 7261	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( B ^m A ) e. Fin )
4	3	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( B ^m A ) e. Fin )
5	2, 4	eqeltrrd 2316	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> { f | f : A --> B } e. Fin )
6		f1f 5598	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
7	6	ss2abi 3320	. . 3 |- { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A --> B }
8	7	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A --> B } )
9		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ g e. { f | f : A --> B } ) -> A e. Fin )
10		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ g e. { f | f : A --> B } ) -> B e. Fin )
11		vex 2824	. . . . . . 7 |- g e. _V
12		feq1 5516	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( f : A --> B <-> g : A --> B ) )
13	11, 12	elab 2970	. . . . . 6 |- ( g e. { f | f : A --> B } <-> g : A --> B )
14	13	bilani 387	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ g e. { f | f : A --> B } ) -> g : A --> B )
15		fdcf1 7316	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ g : A --> B ) -> DECID g : A -1-1-> B )
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ g e. { f | f : A --> B } ) -> DECID g : A -1-1-> B )
17		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( f : A -1-1-> B <-> g : A -1-1-> B ) )
18	11, 17	elab 2970	. . . . 5 |- ( g e. { f | f : A -1-1-> B } <-> g : A -1-1-> B )
19	18	dcbii 852	. . . 4 |- (DECID g e. { f | f : A -1-1-> B } <-> DECID g : A -1-1-> B )
20	16, 19	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ g e. { f | f : A --> B } ) -> DECID g e. { f | f : A -1-1-> B } )
21	20	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> A. g e. { f | f : A --> B }DECID g e. { f | f : A -1-1-> B } )
22		ssfidc 7245	. 2 |- ( ( { f | f : A --> B } e. Fin /\ { f | f : A -1-1-> B } C_ { f | f : A --> B } /\ A. g e. { f | f : A --> B }DECID g e. { f | f : A -1-1-> B } ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
23	5, 8, 21, 22	syl3anc 1278	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   C_ wss 3220   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  hashf1lem2  11286  birthdaylog2  16090