ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoprabg GIF version

Theorem fnoprabg 5840
Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 2009 . . . . . 6 (∃!𝑧𝜓 → ∃*𝑧𝜓)
21imim2i 12 . . . . 5 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
3 moanimv 2052 . . . . 5 (∃*𝑧(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
42, 3sylibr 133 . . . 4 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∃*𝑧(𝜑𝜓))
542alimi 1417 . . 3 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∀𝑥𝑦∃*𝑧(𝜑𝜓))
6 funoprabg 5838 . . 3 (∀𝑥𝑦∃*𝑧(𝜑𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)})
75, 6syl 14 . 2 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)})
8 dmoprab 5820 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑𝜓)}
9 nfa1 1506 . . . 4 𝑥𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
10 nfa2 1543 . . . 4 𝑦𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
11 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝜑)
1211exlimiv 1562 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝜑𝜓) → 𝜑)
13 euex 2007 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑧𝜓 → ∃𝑧𝜓)
1413imim2i 12 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧𝜓))
1514ancld 323 . . . . . . . 8 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓)))
16 19.42v 1862 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓))
1715, 16syl6ibr 161 . . . . . . 7 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧(𝜑𝜓)))
1812, 17impbid2 142 . . . . . 6 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ 𝜑))
1918sps 1502 . . . . 5 (∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ 𝜑))
2019sps 1502 . . . 4 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ 𝜑))
219, 10, 20opabbid 3963 . . 3 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
228, 21syl5eq 2162 . 2 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
23 df-fn 5096 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ (Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
247, 22, 23sylanbrc 413 1 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1314   = wceq 1316  wex 1453  ∃!weu 1977  ∃*wmo 1978  {copab 3958  dom cdm 4509  Fun wfun 5087   Fn wfn 5088  {coprab 5743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-fun 5095  df-fn 5096  df-oprab 5746
This theorem is referenced by:  fnoprab  5842  ovg  5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator