Theorem fnoprabg 6162

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2114	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧𝜓 → ∃*𝑧𝜓)
2	1	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
3		moanimv 2158	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓))
5	4	2alimi 1505	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∀𝑥∀𝑦∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓))
6		funoprabg 6160	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∃*𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)})
8		dmoprab 6142	. . 3 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓)}
9		nfa1 1590	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
10		nfa2 1628	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
11		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
12	11	exlimiv 1647	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
13		euex 2112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑧𝜓 → ∃𝑧𝜓)
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧𝜓))
15	14	ancld 325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓)))
16		19.42v 1958	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓))
17	15, 16	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓)))
18	12, 17	impbid2 143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜑))
19	18	sps 1586	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜑))
20	19	sps 1586	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜑))
21	9, 10, 20	opabbid 4180	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
22	8, 21	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
23		df-fn 5360	. 2 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ (Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
24	7, 22, 23	sylanbrc 417	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑 ∧ 𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1396   = wceq 1398  ∃wex 1541  ∃!weu 2082  ∃*wmo 2083  {copab 4175  dom cdm 4754  Fun wfun 5351   Fn wfn 5352  {coprab 6059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-fun 5359  df-fn 5360  df-oprab 6062

This theorem is referenced by:  fnoprab  6164  ovg  6201