Theorem funvtxdm2vald 15847

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	|- A e. _V
funvtxdm2val.b	|- B e. _V
funvtxdm2vald.g	|- ( ph -> G e. X )
funvtxdm2vald.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxdm2vald.ne	|- ( ph -> A =/= B )
funvtxdm2vald.dm	|- ( ph -> { A , B } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2vald	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxdm2vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funvtxdm2vald.g	. . 3 |- ( ph -> G e. X )
2		vtxvalg 15832	. . 3 |- ( G e. X -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
4		funvtxdm2vald.fun	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5		funvtxdm2vald.ne	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
6		funvtxdm2vald.dm	. . . 4 |- ( ph -> { A , B } C_ dom G )
7		funvtxdm2val.a	. . . . 5 |- A e. _V
8		funvtxdm2val.b	. . . . 5 |- B e. _V
9	7, 8	fun2dmnop0 11082	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> -. G e. ( _V X. _V ) )
11	10	iffalsed 3612	. 2 |- ( ph -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
12	3, 11	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   {cpr 3667   X. cxp 4717   dom cdm 4719   Fun wfun 5312   ` cfv 5318   1stc1st 6290   Basecbs 13047  Vtxcvtx 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6292  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-dom 6897  df-inn 9122  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-vtx 15830

This theorem is referenced by:  funvtxval0d  15849  funvtxvalg  15852