Theorem funvtxdm2vald 15955

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	|- A e. _V
funvtxdm2val.b	|- B e. _V
funvtxdm2vald.g	|- ( ph -> G e. X )
funvtxdm2vald.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxdm2vald.ne	|- ( ph -> A =/= B )
funvtxdm2vald.dm	|- ( ph -> { A , B } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2vald	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxdm2vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funvtxdm2vald.g	. . 3 |- ( ph -> G e. X )
2		vtxvalg 15940	. . 3 |- ( G e. X -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
4		funvtxdm2vald.fun	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5		funvtxdm2vald.ne	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
6		funvtxdm2vald.dm	. . . 4 |- ( ph -> { A , B } C_ dom G )
7		funvtxdm2val.a	. . . . 5 |- A e. _V
8		funvtxdm2val.b	. . . . 5 |- B e. _V
9	7, 8	fun2dmnop0 11160	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> -. G e. ( _V X. _V ) )
11	10	iffalsed 3619	. 2 |- ( ph -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
12	3, 11	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   {cpr 3674   X. cxp 4729   dom cdm 4731   Fun wfun 5327   ` cfv 5333   1stc1st 6310   Basecbs 13145  Vtxcvtx 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-1o 6625  df-2o 6626  df-en 6953  df-dom 6954  df-inn 9186  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-vtx 15938

This theorem is referenced by:  funvtxval0d  15957  funvtxvalg  15960