Theorem funvtxdm2vald 15881

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	|- A e. _V
funvtxdm2val.b	|- B e. _V
funvtxdm2vald.g	|- ( ph -> G e. X )
funvtxdm2vald.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxdm2vald.ne	|- ( ph -> A =/= B )
funvtxdm2vald.dm	|- ( ph -> { A , B } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2vald	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxdm2vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funvtxdm2vald.g	. . 3 |- ( ph -> G e. X )
2		vtxvalg 15866	. . 3 |- ( G e. X -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
4		funvtxdm2vald.fun	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5		funvtxdm2vald.ne	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
6		funvtxdm2vald.dm	. . . 4 |- ( ph -> { A , B } C_ dom G )
7		funvtxdm2val.a	. . . . 5 |- A e. _V
8		funvtxdm2val.b	. . . . 5 |- B e. _V
9	7, 8	fun2dmnop0 11110	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> -. G e. ( _V X. _V ) )
11	10	iffalsed 3615	. 2 |- ( ph -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
12	3, 11	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   {cpr 3670   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   ` cfv 5326   1stc1st 6300   Basecbs 13081  Vtxcvtx 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-vtx 15864

This theorem is referenced by:  funvtxval0d  15883  funvtxvalg  15886