Theorem funvtxdm2vald 16186

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	|- A e. _V
funvtxdm2val.b	|- B e. _V
funvtxdm2vald.g	|- ( ph -> G e. X )
funvtxdm2vald.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxdm2vald.ne	|- ( ph -> A =/= B )
funvtxdm2vald.dm	|- ( ph -> { A , B } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2vald	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxdm2vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funvtxdm2vald.g	. . 3 |- ( ph -> G e. X )
2		vtxvalg 16171	. . 3 |- ( G e. X -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
4		funvtxdm2vald.fun	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5		funvtxdm2vald.ne	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
6		funvtxdm2vald.dm	. . . 4 |- ( ph -> { A , B } C_ dom G )
7		funvtxdm2val.a	. . . . 5 |- A e. _V
8		funvtxdm2val.b	. . . . 5 |- B e. _V
9	7, 8	fun2dmnop0 11280	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> -. G e. ( _V X. _V ) )
11	10	iffalsed 3647	. 2 |- ( ph -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
12	3, 11	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {csn 3705   {cpr 3706   X. cxp 4767   dom cdm 4769   Fun wfun 5366   ` cfv 5372   1stc1st 6362   Basecbs 13330  Vtxcvtx 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-1o 6677  df-2o 6678  df-en 7013  df-dom 7014  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169

This theorem is referenced by:  funvtxval0d  16188  funvtxvalg  16191