Theorem funvtxval0d 16154

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxval0.s	|- S e. _V
funvtxval0d.g	|- ( ph -> G e. V )
funvtxval0d.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxval0d.ne	|- ( ph -> S =/= ( Base ` ndx ) )
funvtxval0d.dm	|- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , S } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxval0d	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxval0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13352	. . 3 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2	1	elexi 2828	. 2 |- ( Base ` ndx ) e. _V
3		funvtxval0.s	. 2 |- S e. _V
4		funvtxval0d.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		funvtxval0d.fun	. 2 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		funvtxval0d.ne	. . 3 |- ( ph -> S =/= ( Base ` ndx ) )
7	6	necomd 2500	. 2 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) =/= S )
8		funvtxval0d.dm	. 2 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , S } C_ dom G )
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	funvtxdm2vald 16152	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   {cpr 3695   dom cdm 4754   Fun wfun 5351   ` cfv 5357   NNcn 9254   ndxcnx 13293   Basecbs 13296  Vtxcvtx 16133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989  df-dom 6990  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-vtx 16135

This theorem is referenced by: (None)