Theorem funvtxval0d 15883

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxval0.s	|- S e. _V
funvtxval0d.g	|- ( ph -> G e. V )
funvtxval0d.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxval0d.ne	|- ( ph -> S =/= ( Base ` ndx ) )
funvtxval0d.dm	|- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , S } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxval0d	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxval0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13137	. . 3 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2	1	elexi 2815	. 2 |- ( Base ` ndx ) e. _V
3		funvtxval0.s	. 2 |- S e. _V
4		funvtxval0d.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		funvtxval0d.fun	. 2 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		funvtxval0d.ne	. . 3 |- ( ph -> S =/= ( Base ` ndx ) )
7	6	necomd 2488	. 2 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) =/= S )
8		funvtxval0d.dm	. 2 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , S } C_ dom G )
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	funvtxdm2vald 15881	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   {cpr 3670   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   ` cfv 5326   NNcn 9142   ndxcnx 13078   Basecbs 13081  Vtxcvtx 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-vtx 15864

This theorem is referenced by: (None)