Theorem funvtxval0d 16188

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxval0.s	|- S e. _V
funvtxval0d.g	|- ( ph -> G e. V )
funvtxval0d.fun	|- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
funvtxval0d.ne	|- ( ph -> S =/= ( Base ` ndx ) )
funvtxval0d.dm	|- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , S } C_ dom G )

Assertion

Ref	Expression
funvtxval0d	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxval0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13386	. . 3 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2	1	elexi 2834	. 2 |- ( Base ` ndx ) e. _V
3		funvtxval0.s	. 2 |- S e. _V
4		funvtxval0d.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		funvtxval0d.fun	. 2 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		funvtxval0d.ne	. . 3 |- ( ph -> S =/= ( Base ` ndx ) )
7	6	necomd 2506	. 2 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) =/= S )
8		funvtxval0d.dm	. 2 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , S } C_ dom G )
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	funvtxdm2vald 16186	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   {cpr 3706   dom cdm 4769   Fun wfun 5366   ` cfv 5372   NNcn 9283   ndxcnx 13327   Basecbs 13330  Vtxcvtx 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-1o 6677  df-2o 6678  df-en 7013  df-dom 7014  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169

This theorem is referenced by: (None)