Theorem funvtxdm2vald 15570

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	⊢ 𝐴 ∈ V
funvtxdm2val.b	⊢ 𝐵 ∈ V
funvtxdm2vald.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
funvtxdm2vald.fun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
funvtxdm2vald.ne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
funvtxdm2vald.dm	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2vald	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem funvtxdm2vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funvtxdm2vald.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
2		vtxvalg 15557	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
4		funvtxdm2vald.fun	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5		funvtxdm2vald.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		funvtxdm2vald.dm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)
7		funvtxdm2val.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		funvtxdm2val.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	7, 8	fun2dmnop0 10990	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
11	10	iffalsed 3580	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
12	3, 11	eqtrd 2237	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  Vcvv 2771   ∖ cdif 3162   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  ifcif 3570  {csn 3632  {cpr 3633   × cxp 4672  dom cdm 4674  Fun wfun 5264  ‘cfv 5270  1^st c1st 6223  Basecbs 12774  Vtxcvtx 15553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1st 6225  df-1o 6501  df-2o 6502  df-en 6827  df-dom 6828  df-inn 9036  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-vtx 15555

This theorem is referenced by:  funvtxval0d  15572  funvtxvalg  15575