Theorem funvtxval0d 16479

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxval0.s	⊢ 𝑆 ∈ V
funvtxval0d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
funvtxval0d.fun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
funvtxval0d.ne	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ (Base‘ndx))
funvtxval0d.dm	⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funvtxval0d	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem funvtxval0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13466	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	elexi 2834	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3		funvtxval0.s	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4		funvtxval0d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		funvtxval0d.fun	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		funvtxval0d.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ (Base‘ndx))
7	6	necomd 2506	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
8		funvtxval0d.dm	. 2 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	funvtxdm2vald 16477	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  {cpr 3710  dom cdm 4776  Fun wfun 5374  ‘cfv 5380  ℕcn 9313  ndxcnx 13407  Basecbs 13410  Vtxcvtx 16458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1st 6378  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7027  df-dom 7028  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-vtx 16460

This theorem is used by: (None)