Theorem funvtxval0d 15883

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxval0.s	⊢ 𝑆 ∈ V
funvtxval0d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
funvtxval0d.fun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
funvtxval0d.ne	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ (Base‘ndx))
funvtxval0d.dm	⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funvtxval0d	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem funvtxval0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13137	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	elexi 2815	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3		funvtxval0.s	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4		funvtxval0d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		funvtxval0d.fun	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		funvtxval0d.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ (Base‘ndx))
7	6	necomd 2488	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
8		funvtxval0d.dm	. 2 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	funvtxdm2vald 15881	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802   ∖ cdif 3197   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670  dom cdm 4725  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  ℕcn 9142  ndxcnx 13078  Basecbs 13081  Vtxcvtx 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-vtx 15864

This theorem is referenced by: (None)