Theorem funvtxval0d 15707

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxval0.s	⊢ 𝑆 ∈ V
funvtxval0d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
funvtxval0d.fun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
funvtxval0d.ne	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ (Base‘ndx))
funvtxval0d.dm	⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funvtxval0d	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem funvtxval0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 12963	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	elexi 2786	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3		funvtxval0.s	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4		funvtxval0d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		funvtxval0d.fun	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		funvtxval0d.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ (Base‘ndx))
7	6	necomd 2463	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
8		funvtxval0d.dm	. 2 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	funvtxdm2vald 15705	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773   ∖ cdif 3167   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  {csn 3638  {cpr 3639  dom cdm 4683  Fun wfun 5274  ‘cfv 5280  ℕcn 9056  ndxcnx 12904  Basecbs 12907  Vtxcvtx 15686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1st 6239  df-1o 6515  df-2o 6516  df-en 6841  df-dom 6842  df-inn 9057  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-vtx 15688

This theorem is referenced by: (None)