ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm Unicode version

Theorem fzm 9786
Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzm  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, N

Proof of Theorem fzm
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 9777 . . 3  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21exlimiv 1562 . 2  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3 eluzfz1 9779 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 elex2 2676 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  E. x  x  e.  ( M ... N ) )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  E. x  x  e.  ( M ... N ) )
62, 5impbii 125 1  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104   E.wex 1453    e. wcel 1465   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   ZZ>=cuz 9294   ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759
This theorem is referenced by:  fzn  9790
  Copyright terms: Public domain W3C validator