ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm Unicode version

Theorem fzm 9818
Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzm  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, N

Proof of Theorem fzm
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 9809 . . 3  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21exlimiv 1577 . 2  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3 eluzfz1 9811 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 elex2 2702 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  E. x  x  e.  ( M ... N ) )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  E. x  x  e.  ( M ... N ) )
62, 5impbii 125 1  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104   E.wex 1468    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791
This theorem is referenced by:  fzn  9822
  Copyright terms: Public domain W3C validator