Theorem elfzuz2 9972

Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9962	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2		eqid 2170	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
3	2	uztrn2 9491	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 3	sylbi 120	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-pre-ltwlin 7874

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-neg 8080  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953

This theorem is referenced by:  elfzle3  9973  elfzubelfz  9979  fzm  9981  fzopth  10004  elfzmlbm  10074  elfzom1elp1fzo  10145  iseqf1olemqk  10437  bcm1k  10681  bcpasc  10687  seq3coll  10764  lgsdir2lem2  13645