Theorem elfzuz2 10225

Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10215	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
3	2	uztrn2 9740	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 3	sylbi 121	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltwlin 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  elfzle3  10226  elfzubelfz  10232  fzm  10234  fzopth  10257  elfzmlbm  10327  elfzom1elp1fzo  10408  iseqf1olemqk  10729  bcm1k  10982  bcpasc  10988  seq3coll  11064  pfxccatin12lem2c  11262  lgsdir2lem2  15708