Theorem elfzuz2 9699

Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9690	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2		eqid 2115	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
3	2	uztrn2 9242	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 3	sylbi 120	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1463   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   ZZ>=cuz 9225   ...cfz 9680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-pre-ltwlin 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-neg 7856  df-z 8956  df-uz 9226  df-fz 9681

This theorem is referenced by:  elfzle3  9700  elfzubelfz  9706  fzm  9708  fzopth  9731  elfzmlbm  9798  elfzom1elp1fzo  9869  iseqf1olemqk  10157  bcm1k  10396  bcpasc  10402  seq3coll  10475