ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzn Unicode version

Theorem fzn 9945
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzn  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fzn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fznlem 9944 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  ( M ... N
)  =  (/) ) )
2 neq0r 3408 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  -.  ( M ... N )  =  (/) )
3 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
42, 3nsyl3 616 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  -.  E. x  x  e.  ( M ... N ) )
5 fzm 9941 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluz 9453 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
75, 6syl5rbb 192 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  E. x  x  e.  ( M ... N ) ) )
87adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  ( M  <_  N 
<->  E. x  x  e.  ( M ... N
) ) )
94, 8mtbird 663 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  -.  M  <_  N )
10 zltnle 9214 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1110ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1211adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  ( N  < 
M  <->  -.  M  <_  N ) )
139, 12mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  N  <  M
)
1413ex 114 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  N  <  M ) )
151, 14impbid 128 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   (/)c0 3394   class class class wbr 3966   ` cfv 5171  (class class class)co 5825    < clt 7913    <_ cle 7914   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-fz 9914
This theorem is referenced by:  fz1n  9947  fz10  9949  fzsuc2  9982  fzm1  10003  fzon  10069  exfzdc  10143  fzfig  10333  uzsinds  10345  hashfzp1  10702  fisumrev2  11347  isumsplit  11392  arisum2  11400  cvgratnnlemseq  11427
  Copyright terms: Public domain W3C validator