Theorem fzn 9517

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzn	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )

Proof of Theorem fzn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fznlem 9516	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )
2		neq0r 3301	. . . . . 6 |- ( E. x x e. ( M ... N ) -> -. ( M ... N ) = (/) )
3		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M ... N ) = (/) ) -> ( M ... N ) = (/) )
4	2, 3	nsyl3 592	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M ... N ) = (/) ) -> -. E. x x e. ( M ... N ) )
5		fzm 9513	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. ( M ... N ) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluz 9093	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
7	5, 6	syl5rbb 192	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> E. x x e. ( M ... N ) ) )
8	7	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M ... N ) = (/) ) -> ( M <_ N <-> E. x x e. ( M ... N ) ) )
9	4, 8	mtbird 634	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M ... N ) = (/) ) -> -. M <_ N )
10		zltnle 8857	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
11	10	ancoms 265	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
12	11	adantr 271	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M ... N ) = (/) ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
13	9, 12	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M ... N ) = (/) ) -> N < M )
14	13	ex 114	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ... N ) = (/) -> N < M ) )
15	1, 14	impbid 128	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   (/)c0 3287   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   < clt 7583   <_ cle 7584   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486

This theorem is referenced by:  fz1n  9519  fz10  9521  fzsuc2  9554  fzm1  9575  fzon  9638  exfzdc  9712  fzfig  9898  uzsinds  9909  hashfzp1  10293  fisumrev2  10901  isumsplit  10946  arisum2  10954  cvgratnnlemseq  10981