ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzn Unicode version

Theorem fzn 9998
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzn  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fzn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fznlem 9997 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  ( M ... N
)  =  (/) ) )
2 neq0r 3429 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  -.  ( M ... N )  =  (/) )
3 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
42, 3nsyl3 621 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  -.  E. x  x  e.  ( M ... N ) )
5 fzm 9994 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluz 9500 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
75, 6bitr2id 192 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  E. x  x  e.  ( M ... N ) ) )
87adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  ( M  <_  N 
<->  E. x  x  e.  ( M ... N
) ) )
94, 8mtbird 668 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  -.  M  <_  N )
10 zltnle 9258 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1110ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1211adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  ( N  < 
M  <->  -.  M  <_  N ) )
139, 12mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  N  <  M
)
1413ex 114 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  N  <  M ) )
151, 14impbid 128 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    < clt 7954    <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966
This theorem is referenced by:  fz1n  10000  fz10  10002  fzsuc2  10035  fzm1  10056  fzon  10122  exfzdc  10196  fzfig  10386  uzsinds  10398  hashfzp1  10759  fisumrev2  11409  isumsplit  11454  arisum2  11462  cvgratnnlemseq  11489  lgsdir2lem3  13725
  Copyright terms: Public domain W3C validator