Theorem fzm 9601

Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fzm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 9592	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	exlimiv 1541	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzfz1 9594	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elex2 2649	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
6	2, 5	impbii 125	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 104  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℤ_≥cuz 9118  ...cfz 9573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-neg 7753  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574

This theorem is referenced by:  fzn  9605