ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm GIF version

Theorem fzm 10037
Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzm (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fzm
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 10028 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21exlimiv 1598 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzfz1 10030 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elex2 2753 . . 3 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
62, 5impbii 126 1 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105  wex 1492  wcel 2148  cfv 5216  (class class class)co 5874  cuz 9527  ...cfz 10007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-neg 8130  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008
This theorem is referenced by:  fzn  10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator