Theorem fztri3or 10373

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1193	. . 3 |- ( K < M -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
3		3mix3 1195	. . . 4 |- ( N < K -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> -. K < M )
6		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. ZZ )
7	6	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. RR )
8		simpl1 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. ZZ )
9	8	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. RR )
10	7, 9	lenltd 8391	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
11	5, 10	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M <_ K )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> M <_ K )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> -. N < K )
14	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. RR )
15		simpll3 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. ZZ )
16	15	zred 9700	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. RR )
17	14, 16	lenltd 8391	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
18	13, 17	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K <_ N )
19		elfz 10348	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
22	12, 18, 21	mpbir2and 953	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. ( M ... N ) )
23	22	3mix2d 1200	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
24		zdclt 9655	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID N < K )
25	24	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
26	25	3adant2 1043	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> DECID N < K )
28		df-dc 843	. . . 4 |- (DECID N < K <-> ( N < K \/ -. N < K ) )
29	27, 28	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( N < K \/ -. N < K ) )
30	4, 23, 29	mpjaodan 806	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
31		zdclt 9655	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID K < M )
32	31	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K < M )
33		df-dc 843	. . 3 |- (DECID K < M <-> ( K < M \/ -. K < M ) )
34	32, 33	sylib 122	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ -. K < M ) )
35	2, 30, 34	mpjaodan 806	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   < clt 8308   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  fzdcel  10374  hashfiv01gt1  11145