ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztri3or Unicode version
Theorem fztri3or 9812
Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
fztri3or |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
Proof of Theorem fztri3or
StepHypRef Expression
1 3mix1 1150 . . 3 |- ( K < M -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
21adantl 275 . 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
3 3mix3 1152 . . . 4 |- ( N < K -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
43adantl 275 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
5 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> -. K < M )
6 simpl2 985 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. ZZ )
76zred 9166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. RR )
8 simpl1 984 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. ZZ )
98zred 9166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. RR )
107, 9lenltd 7873 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
115, 10mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M <_ K )
1211adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> M <_ K )
13 simpr 109 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> -. N < K )
149adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. RR )
15 simpll3 1022 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. ZZ )
1615zred 9166 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. RR )
1714, 16lenltd 7873 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
1813, 17mpbird 166 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K <_ N )
19 elfz 9789 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2019adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2120adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2212, 18, 21mpbir2and 928 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. ( M ... N ) )
23223mix2d 1157 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
24 zdclt 9121 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID N < K )
2524ancoms 266 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
26253adant2 1000 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
2726adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> DECID N < K )
28 df-dc 820 . . . 4 |- (DECID N < K <-> ( N < K \/ -. N < K ) )
2927, 28sylib 121 . . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( N < K \/ -. N < K ) )
304, 23, 29mpjaodan 787 . 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
31 zdclt 9121 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID K < M )
32313adant3 1001 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K < M )
33 df-dc 820 . . 3 |- (DECID K < M <-> ( K < M \/ -. K < M ) )
3432, 33sylib 121 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ -. K < M ) )
352, 30, 34mpjaodan 787 1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   \/ w3o 961   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-fz 9784
This theorem is referenced by:  fzdcel  9813  hashfiv01gt1  10521
  Copyright terms: Public domain W3C validator