Theorem fztri3or 10273

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1192	. . 3 |- ( K < M -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
3		3mix3 1194	. . . 4 |- ( N < K -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> -. K < M )
6		simpl2 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. ZZ )
7	6	zred 9601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. RR )
8		simpl1 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. ZZ )
9	8	zred 9601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. RR )
10	7, 9	lenltd 8296	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
11	5, 10	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M <_ K )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> M <_ K )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> -. N < K )
14	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. RR )
15		simpll3 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. ZZ )
16	15	zred 9601	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. RR )
17	14, 16	lenltd 8296	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
18	13, 17	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K <_ N )
19		elfz 10248	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
22	12, 18, 21	mpbir2and 952	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. ( M ... N ) )
23	22	3mix2d 1199	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
24		zdclt 9556	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID N < K )
25	24	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
26	25	3adant2 1042	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> DECID N < K )
28		df-dc 842	. . . 4 |- (DECID N < K <-> ( N < K \/ -. N < K ) )
29	27, 28	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( N < K \/ -. N < K ) )
30	4, 23, 29	mpjaodan 805	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
31		zdclt 9556	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID K < M )
32	31	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K < M )
33		df-dc 842	. . 3 |- (DECID K < M <-> ( K < M \/ -. K < M ) )
34	32, 33	sylib 122	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ -. K < M ) )
35	2, 30, 34	mpjaodan 805	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   \/ w3o 1003   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  fzdcel  10274  hashfiv01gt1  11043