Theorem fztri3or 10039

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1166	. . 3 |- ( K < M -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
3		3mix3 1168	. . . 4 |- ( N < K -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> -. K < M )
6		simpl2 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. ZZ )
7	6	zred 9375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. RR )
8		simpl1 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. ZZ )
9	8	zred 9375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. RR )
10	7, 9	lenltd 8075	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
11	5, 10	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M <_ K )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> M <_ K )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> -. N < K )
14	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. RR )
15		simpll3 1038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. ZZ )
16	15	zred 9375	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. RR )
17	14, 16	lenltd 8075	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
18	13, 17	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K <_ N )
19		elfz 10014	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
21	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
22	12, 18, 21	mpbir2and 944	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. ( M ... N ) )
23	22	3mix2d 1173	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
24		zdclt 9330	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID N < K )
25	24	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
26	25	3adant2 1016	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> DECID N < K )
28		df-dc 835	. . . 4 |- (DECID N < K <-> ( N < K \/ -. N < K ) )
29	27, 28	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( N < K \/ -. N < K ) )
30	4, 23, 29	mpjaodan 798	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
31		zdclt 9330	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID K < M )
32	31	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K < M )
33		df-dc 835	. . 3 |- (DECID K < M <-> ( K < M \/ -. K < M ) )
34	32, 33	sylib 122	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ -. K < M ) )
35	2, 30, 34	mpjaodan 798	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   < clt 7992   <_ cle 7993   ZZcz 9253   ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-fz 10009

This theorem is referenced by:  fzdcel  10040  hashfiv01gt1  10762