Theorem eluzfz1 10266

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9760	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		uzid 9770	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzfz 10255	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpancom 422	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  elfz3  10269  fzm  10273  fzopth  10296  fz01or  10346  exfzdc  10486  seq3clss  10733  seqfveqg  10740  seq3fveq  10741  seq3shft2  10743  seqshft2g  10744  monoord  10747  monoord2  10748  seqcaopr3g  10754  iseqf1olemqk  10769  seq3f1olemqsumkj  10773  seq3f1olemp  10777  seqf1oglem2a  10780  seqf1oglem2  10782  seq3id3  10786  seqhomog  10792  ser3ge0  10798  seq3coll  11106  pfxwrdsymbg  11271  fsum1p  11980  telfsumo  12028  telfsumo2  12029  fsumparts  12032  mertenslem2  12098  prodfap0  12107  prodfrecap  12108  fprod1p  12161  phicl2  12787  4sqlem19  12983  gsum0g  13480  gsumsplit1r  13482  gsumfzz  13579  gsumfzfsumlemm  14603  wlkvtxm  16193  inffz  16679