ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzfz1 Unicode version

Theorem eluzfz1 9804
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9324 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 9333 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 eluzfz 9794 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
53, 4mpancom 418 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784
This theorem is referenced by:  elfz3  9807  fzm  9811  fzopth  9834  fz01or  9884  exfzdc  10010  seq3clss  10233  seq3fveq  10237  seq3shft2  10239  monoord  10242  monoord2  10243  iseqf1olemqk  10260  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemp  10268  seq3id3  10273  ser3ge0  10283  seq3coll  10578  fsum1p  11180  telfsumo  11228  telfsumo2  11229  fsumparts  11232  mertenslem2  11298  prodfap0  11307  prodfrecap  11308  phicl2  11875  inffz  13223
  Copyright terms: Public domain W3C validator