Theorem peano2fzr 10050

Description: A Peano-postulate-like theorem for downward closure of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2fzr	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem peano2fzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9550	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3		elfzuz3 10035	. . 3 |- ( ( K + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
4		peano2uzr 9598	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
6		elfzuzb 10032	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
7	1, 5, 6	sylanbrc 417	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1c1 7825   + caddc 7827   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022

This theorem is referenced by:  fzsuc  10082  peano2fzor  10245  seq3fveq2  10482  seq3shft2  10486  monoord  10489  seq3split  10492  seq3id2  10522