ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2fzr Unicode version

Theorem peano2fzr 9772
Description: A Peano-postulate-like theorem for downward closure of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano2fzr  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem peano2fzr
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzelz 9291 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
3 elfzuz3 9758 . . 3  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
4 peano2uzr 9336 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
52, 3, 4syl2an 287 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
6 elfzuzb 9755 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
71, 5, 6sylanbrc 413 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1c1 7589    + caddc 7591   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282   ...cfz 9745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746
This theorem is referenced by:  fzsuc  9804  peano2fzor  9964  seq3fveq2  10197  seq3shft2  10201  monoord  10204  seq3split  10207  seq3id2  10237
  Copyright terms: Public domain W3C validator