Theorem peano2fzr 10032

Description: A Peano-postulate-like theorem for downward closure of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2fzr	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem peano2fzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9533	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3		elfzuz3 10017	. . 3 |- ( ( K + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
4		peano2uzr 9581	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
6		elfzuzb 10014	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
7	1, 5, 6	sylanbrc 417	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   1c1 7809   + caddc 7811   ZZcz 9249   ZZ>=cuz 9524   ...cfz 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005

This theorem is referenced by:  fzsuc  10064  peano2fzor  10227  seq3fveq2  10464  seq3shft2  10468  monoord  10471  seq3split  10474  seq3id2  10504