Theorem xlesubadd 10117

Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 8613 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlesubadd	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
2		simpl2 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
3	2	xnegcld 10089	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -e B e. RR* )
4		xaddcl 10094	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
7		simpll3 1064	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR* )
8		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
9		xleadd1 10109	. . . 4 |- ( ( ( A +e -e B ) e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
11		xnpcan 10106	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
12	1, 11	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
13	12	breq1d 4098	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e B ) ) )
14	10, 13	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
15		simpr3 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ C )
16		oveq1 6024	. . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = ( +oo +e -oo ) )
17		pnfaddmnf 10084	. . . . . . . . 9 |- ( +oo +e -oo ) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = 0 )
19	18	breq1d 4098	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> 0 <_ C ) )
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
21		xaddmnf1 10082	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
22	21	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
24		simpl3 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
25		mnfle 10026	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR* -> -oo <_ C )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -oo <_ C )
27		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> -oo <_ C ) )
28	26, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
29	23, 28	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
30		xrpnfdc 10076	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
31		dcne 2413	. . . . . . . 8 |- (DECID A = +oo <-> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
34	20, 29, 33	mpjaod 725	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -oo ) <_ C )
35		pnfge 10023	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ +oo )
37		ge0nemnf 10058	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> C =/= -oo )
38	24, 15, 37	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C =/= -oo )
39		xaddpnf1 10080	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
40	24, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
41	36, 40	breqtrrd 4116	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ ( C +e +oo ) )
42	34, 41	2thd 175	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
43		xnegeq 10061	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> -e B = -e +oo )
44		xnegpnf 10062	. . . . . . . 8 |- -e +oo = -oo
45	43, 44	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> -e B = -oo )
46	45	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( A +e -e B ) = ( A +e -oo ) )
47	46	breq1d 4098	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( A +e -oo ) <_ C ) )
48		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( C +e B ) = ( C +e +oo ) )
49	48	breq2d 4100	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
50	47, 49	bibi12d 235	. . . 4 |- ( B = +oo -> ( ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) <-> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) ) )
51	42, 50	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) ) )
52	51	imp 124	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B = +oo ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
53		simpr2 1030	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B =/= -oo )
54	2, 53	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
55		xrnemnf 10011	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) <-> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
56	54, 55	sylib 122	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
57	14, 52, 56	mpjaodan 805	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   +oocpnf 8210   -oocmnf 8211   RR*cxr 8212   <_ cle 8214   -ecxne 10003   +ecxad 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-xneg 10006  df-xadd 10007

This theorem is referenced by:  xmetrtri  15099