Theorem xlesubadd 9949

Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 8453 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlesubadd	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
2		simpl2 1003	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
3	2	xnegcld 9921	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -e B e. RR* )
4		xaddcl 9926	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
7		simpll3 1040	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR* )
8		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
9		xleadd1 9941	. . . 4 |- ( ( ( A +e -e B ) e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
11		xnpcan 9938	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
12	1, 11	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
13	12	breq1d 4039	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e B ) ) )
14	10, 13	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
15		simpr3 1007	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ C )
16		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = ( +oo +e -oo ) )
17		pnfaddmnf 9916	. . . . . . . . 9 |- ( +oo +e -oo ) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = 0 )
19	18	breq1d 4039	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> 0 <_ C ) )
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
21		xaddmnf1 9914	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
22	21	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
24		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
25		mnfle 9858	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR* -> -oo <_ C )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -oo <_ C )
27		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> -oo <_ C ) )
28	26, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
29	23, 28	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
30		xrpnfdc 9908	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
31		dcne 2375	. . . . . . . 8 |- (DECID A = +oo <-> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
34	20, 29, 33	mpjaod 719	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -oo ) <_ C )
35		pnfge 9855	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ +oo )
37		ge0nemnf 9890	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> C =/= -oo )
38	24, 15, 37	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C =/= -oo )
39		xaddpnf1 9912	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
40	24, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
41	36, 40	breqtrrd 4057	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ ( C +e +oo ) )
42	34, 41	2thd 175	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
43		xnegeq 9893	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> -e B = -e +oo )
44		xnegpnf 9894	. . . . . . . 8 |- -e +oo = -oo
45	43, 44	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> -e B = -oo )
46	45	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( A +e -e B ) = ( A +e -oo ) )
47	46	breq1d 4039	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( A +e -oo ) <_ C ) )
48		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( C +e B ) = ( C +e +oo ) )
49	48	breq2d 4041	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
50	47, 49	bibi12d 235	. . . 4 |- ( B = +oo -> ( ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) <-> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) ) )
51	42, 50	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) ) )
52	51	imp 124	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B = +oo ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
53		simpr2 1006	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B =/= -oo )
54	2, 53	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
55		xrnemnf 9843	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) <-> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
56	54, 55	sylib 122	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
57	14, 52, 56	mpjaodan 799	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   +oocpnf 8051   -oocmnf 8052   RR*cxr 8053   <_ cle 8055   -ecxne 9835   +ecxad 9836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-xneg 9838  df-xadd 9839

This theorem is referenced by:  xmetrtri  14544