ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Unicode version
Theorem xlesubadd 10079
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 8581 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 1024 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
2 simpl2 1025 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
32xnegcld 10051 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -e B e. RR* )
4 xaddcl 10056 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
51, 3, 4syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
65adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
7 simpll3 1062 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR* )
8 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
9 xleadd1 10071 . . . 4 |- ( ( ( A +e -e B ) e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1271 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
11 xnpcan 10068 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
121, 11sylan 283 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
1312breq1d 4093 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e B ) ) )
1410, 13bitrd 188 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
15 simpr3 1029 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ C )
16 oveq1 6008 . . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = ( +oo +e -oo ) )
17 pnfaddmnf 10046 . . . . . . . . 9 |- ( +oo +e -oo ) = 0
1816, 17eqtrdi 2278 . . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = 0 )
1918breq1d 4093 . . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> 0 <_ C ) )
2015, 19syl5ibrcom 157 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
21 xaddmnf1 10044 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
2221ex 115 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
231, 22syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
24 simpl3 1026 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
25 mnfle 9988 . . . . . . . . 9 |- ( C e. RR* -> -oo <_ C )
2624, 25syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -oo <_ C )
27 breq1 4086 . . . . . . . 8 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> -oo <_ C ) )
2826, 27syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
2923, 28syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
30 xrpnfdc 10038 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
31 dcne 2411 . . . . . . . 8 |- (DECID A = +oo <-> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
3230, 31sylib 122 . . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
331, 32syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
3420, 29, 33mpjaod 723 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -oo ) <_ C )
35 pnfge 9985 . . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
361, 35syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ +oo )
37 ge0nemnf 10020 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> C =/= -oo )
3824, 15, 37syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C =/= -oo )
39 xaddpnf1 10042 . . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
4024, 38, 39syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
4136, 40breqtrrd 4111 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ ( C +e +oo ) )
4234, 412thd 175 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
43 xnegeq 10023 . . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> -e B = -e +oo )
44 xnegpnf 10024 . . . . . . . 8 |- -e +oo = -oo
4543, 44eqtrdi 2278 . . . . . . 7 |- ( B = +oo -> -e B = -oo )
4645oveq2d 6017 . . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( A +e -e B ) = ( A +e -oo ) )
4746breq1d 4093 . . . . 5 |- ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( A +e -oo ) <_ C ) )
48 oveq2 6009 . . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( C +e B ) = ( C +e +oo ) )
4948breq2d 4095 . . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
5047, 49bibi12d 235 . . . 4 |- ( B = +oo -> ( ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) <-> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) ) )
5142, 50syl5ibrcom 157 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) ) )
5251imp 124 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B = +oo ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
53 simpr2 1028 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B =/= -oo )
542, 53jca 306 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
55 xrnemnf 9973 . . 3 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) <-> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
5654, 55sylib 122 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
5714, 52, 56mpjaodan 803 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   +oocpnf 8178   -oocmnf 8179   RR*cxr 8180   <_ cle 8182   -ecxne 9965   +ecxad 9966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-xneg 9968  df-xadd 9969
This theorem is referenced by:  xmetrtri  15050
  Copyright terms: Public domain W3C validator