ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetrtri Unicode version

Theorem xmetrtri 13536
Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetrtri  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B ) )

Proof of Theorem xmetrtri
StepHypRef Expression
1 3ancomb 986 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )
)
2 xmettri 13532 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D C )  <_  ( ( A D B ) +e ( B D C ) ) )
31, 2sylan2b 287 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D C )  <_  ( ( A D B ) +e ( B D C ) ) )
4 xmetcl 13512 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A D C )  e.  RR* )
543adant3r2 1213 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D C )  e.  RR* )
6 xmetcl 13512 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( B D C )  e.  RR* )
763adant3r1 1212 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B D C )  e.  RR* )
8 xmetcl 13512 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
983adant3r3 1214 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
10 xmetge0 13525 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D C ) )
11103adant3r2 1213 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D C ) )
12 xmetge0 13525 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  0  <_  ( B D C ) )
13123adant3r1 1212 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( B D C ) )
14 ge0nemnf 9808 . . . 4  |-  ( ( ( B D C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( B D C ) )  ->  ( B D C )  =/= -oo )
157, 13, 14syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B D C )  =/= -oo )
16 xmetge0 13525 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
17163adant3r3 1214 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
18 xlesubadd 9867 . . 3  |-  ( ( ( ( A D C )  e.  RR*  /\  ( B D C )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  /\  (
0  <_  ( A D C )  /\  ( B D C )  =/= -oo  /\  0  <_  ( A D B ) ) )  ->  ( (
( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B )  <->  ( A D C )  <_  (
( A D B ) +e ( B D C ) ) ) )
195, 7, 9, 11, 15, 17, 18syl33anc 1253 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_  ( A D B )  <->  ( A D C )  <_  (
( A D B ) +e ( B D C ) ) ) )
203, 19mpbird 167 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7799   -oocmnf 7977   RR*cxr 7978    <_ cle 7980    -ecxne 9753   +ecxad 9754   *Metcxmet 13140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-2 8964  df-xneg 9756  df-xadd 9757  df-xmet 13148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator