ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetrtri Unicode version

Theorem xmetrtri 12582
Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetrtri  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B ) )

Proof of Theorem xmetrtri
StepHypRef Expression
1 3ancomb 971 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )
)
2 xmettri 12578 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D C )  <_  ( ( A D B ) +e ( B D C ) ) )
31, 2sylan2b 285 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D C )  <_  ( ( A D B ) +e ( B D C ) ) )
4 xmetcl 12558 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A D C )  e.  RR* )
543adant3r2 1192 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D C )  e.  RR* )
6 xmetcl 12558 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( B D C )  e.  RR* )
763adant3r1 1191 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B D C )  e.  RR* )
8 xmetcl 12558 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
983adant3r3 1193 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
10 xmetge0 12571 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D C ) )
11103adant3r2 1192 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D C ) )
12 xmetge0 12571 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  0  <_  ( B D C ) )
13123adant3r1 1191 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( B D C ) )
14 ge0nemnf 9636 . . . 4  |-  ( ( ( B D C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( B D C ) )  ->  ( B D C )  =/= -oo )
157, 13, 14syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B D C )  =/= -oo )
16 xmetge0 12571 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
17163adant3r3 1193 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
18 xlesubadd 9695 . . 3  |-  ( ( ( ( A D C )  e.  RR*  /\  ( B D C )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  /\  (
0  <_  ( A D C )  /\  ( B D C )  =/= -oo  /\  0  <_  ( A D B ) ) )  ->  ( (
( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B )  <->  ( A D C )  <_  (
( A D B ) +e ( B D C ) ) ) )
195, 7, 9, 11, 15, 17, 18syl33anc 1232 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_  ( A D B )  <->  ( A D C )  <_  (
( A D B ) +e ( B D C ) ) ) )
203, 19mpbird 166 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 1481    =/= wne 2309   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   0cc0 7643   -oocmnf 7821   RR*cxr 7822    <_ cle 7824    -ecxne 9585   +ecxad 9586   *Metcxmet 12186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-2 8802  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-xmet 12194
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator