ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xblpnf Unicode version

Theorem xblpnf 14376
Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xblpnf  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D ) +oo )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  e.  RR ) ) )

Proof of Theorem xblpnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 8041 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 elbl 14368 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) +oo )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < +oo ) ) )
31, 2mp3an3 1337 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D ) +oo )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < +oo ) ) )
4 xmetcl 14329 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( P D A )  e.  RR* )
5 xmetge0 14342 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D A ) )
6 ge0nemnf 9856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P D A ) )  ->  ( P D A )  =/= -oo )
74, 5, 6syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( P D A )  =/= -oo )
8 nmnfgt 9850 . . . . . . . 8  |-  ( ( P D A )  e.  RR*  ->  ( -oo  <  ( P D A )  <->  ( P D A )  =/= -oo ) )
94, 8syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( -oo  <  ( P D A )  <->  ( P D A )  =/= -oo ) )
107, 9mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  -> -oo  <  ( P D A ) )
1110biantrurd 305 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( P D A )  < +oo 
<->  ( -oo  <  ( P D A )  /\  ( P D A )  < +oo ) ) )
12 xrrebnd 9851 . . . . . 6  |-  ( ( P D A )  e.  RR*  ->  ( ( P D A )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( P D A )  /\  ( P D A )  < +oo ) ) )
134, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( P D A )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( P D A )  /\  ( P D A )  < +oo ) ) )
1411, 13bitr4d 191 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( P D A )  < +oo 
<->  ( P D A )  e.  RR ) )
15143expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( P D A )  < +oo  <->  ( P D A )  e.  RR ) )
1615pm5.32da 452 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < +oo )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  e.  RR ) ) )
173, 16bitrd 188 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D ) +oo )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2160    =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   +oocpnf 8020   -oocmnf 8021   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024   *Metcxmet 13866   ballcbl 13868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xadd 9805  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876
This theorem is referenced by:  blpnf  14377  xmetec  14414
  Copyright terms: Public domain W3C validator