Theorem xblpnf 14904

Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xblpnf	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) e. RR ) ) )

Proof of Theorem xblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8127	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elbl 14896	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
3	1, 2	mp3an3 1339	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
4		xmetcl 14857	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( P D A ) e. RR* )
5		xmetge0 14870	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> 0 <_ ( P D A ) )
6		ge0nemnf 9948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P D A ) e. RR* /\ 0 <_ ( P D A ) ) -> ( P D A ) =/= -oo )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( P D A ) =/= -oo )
8		nmnfgt 9942	. . . . . . . 8 |- ( ( P D A ) e. RR* -> ( -oo < ( P D A ) <-> ( P D A ) =/= -oo ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( -oo < ( P D A ) <-> ( P D A ) =/= -oo ) )
10	7, 9	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> -oo < ( P D A ) )
11	10	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) < +oo <-> ( -oo < ( P D A ) /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
12		xrrebnd 9943	. . . . . 6 |- ( ( P D A ) e. RR* -> ( ( P D A ) e. RR <-> ( -oo < ( P D A ) /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
13	4, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) e. RR <-> ( -oo < ( P D A ) /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
14	11, 13	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) < +oo <-> ( P D A ) e. RR ) )
15	14	3expa 1206	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) < +oo <-> ( P D A ) e. RR ) )
16	15	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( A e. X /\ ( P D A ) < +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) e. RR ) ) )
17	3, 16	bitrd 188	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) e. RR ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   +oocpnf 8106   -oocmnf 8107   RR*cxr 8108   < clt 8109   <_ cle 8110   *Metcxmet 14331   ballcbl 14333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-2 9097  df-xadd 9897  df-psmet 14338  df-xmet 14339  df-bl 14341

This theorem is referenced by:  blpnf  14905  xmetec  14942