ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0p1rp Unicode version

Theorem ge0p1rp 9480
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0p1rp  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rp
StepHypRef Expression
1 peano2re 7905 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
21adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
3 0red 7774 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR )
4 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
5 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  A )
6 ltp1 8609 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
76adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  <  ( A  + 
1 ) )
83, 4, 2, 5, 7lelttrd 7894 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <  ( A  +  1 ) )
9 elrp 9450 . 2  |-  ( ( A  +  1 )  e.  RR+  <->  ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  1 ) ) )
102, 8, 9sylanbrc 413 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    < clt 7807    <_ cle 7808   RR+crp 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-rp 9449
This theorem is referenced by:  ge0p1rpd  9521
  Copyright terms: Public domain W3C validator