Theorem ge0p1rp 9717

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rp	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) e. RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 8124	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) e. RR )
3		0red 7989	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
4		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ A )
6		ltp1 8832	. . . 4 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A < ( A + 1 ) )
8	3, 4, 2, 5, 7	lelttrd 8113	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 < ( A + 1 ) )
9		elrp 9687	. 2 |- ( ( A + 1 ) e. RR+ <-> ( ( A + 1 ) e. RR /\ 0 < ( A + 1 ) ) )
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023   <_ cle 8024   RR+crp 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-rp 9686

This theorem is referenced by:  ge0p1rpd  9759