Theorem ge0p1rp 9502

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rp	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) e. RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 7922	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) e. RR )
3		0red 7791	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
4		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
5		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ A )
6		ltp1 8626	. . . 4 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )
7	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A < ( A + 1 ) )
8	3, 4, 2, 5, 7	lelttrd 7911	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 < ( A + 1 ) )
9		elrp 9472	. 2 |- ( ( A + 1 ) e. RR+ <-> ( ( A + 1 ) e. RR /\ 0 < ( A + 1 ) ) )
10	2, 8, 9	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   RR+crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  ge0p1rpd  9544