ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0p1rp Unicode version

Theorem ge0p1rp 9428
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0p1rp  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rp
StepHypRef Expression
1 peano2re 7866 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
21adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
3 0red 7735 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR )
4 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
5 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  A )
6 ltp1 8566 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
76adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  <  ( A  + 
1 ) )
83, 4, 2, 5, 7lelttrd 7855 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <  ( A  +  1 ) )
9 elrp 9399 . 2  |-  ( ( A  +  1 )  e.  RR+  <->  ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  1 ) ) )
102, 8, 9sylanbrc 413 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   RR+crp 9397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-rp 9398
This theorem is referenced by:  ge0p1rpd  9469
  Copyright terms: Public domain W3C validator