Theorem ltp1 8801

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
ltp1	|- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )

Proof of Theorem ltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7956	. 2 |- 1 e. RR
2		0lt1 8084	. . 3 |- 0 < 1
3		ltaddpos 8409	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> A < ( A + 1 ) ) )
4	2, 3	mpbii 148	. 2 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> A < ( A + 1 ) )
5	1, 4	mpan 424	1 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997

This theorem is referenced by:  lep1  8802  letrp1  8805  recp1lt1  8856  ledivp1  8860  ltp1i  8862  ltp1d  8887  uzind  9364  ge0p1rp  9685  qbtwnxr  10258  reeff1olem  14195