Theorem ltp1 8715

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
ltp1	|- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )

Proof of Theorem ltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7877	. 2 |- 1 e. RR
2		0lt1 8002	. . 3 |- 0 < 1
3		ltaddpos 8327	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> A < ( A + 1 ) ) )
4	2, 3	mpbii 147	. 2 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> A < ( A + 1 ) )
5	1, 4	mpan 421	1 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733   + caddc 7735   < clt 7912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917

This theorem is referenced by:  lep1  8716  letrp1  8719  recp1lt1  8770  ledivp1  8774  ltp1i  8776  ltp1d  8801  uzind  9275  ge0p1rp  9592  qbtwnxr  10157  reeff1olem  13103