Theorem cnf 14955

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U. J
iscnp2.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnf	|- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 |- X = U. J
2		iscnp2.2	. . . 4 |- Y = U. K
3	1, 2	iscn2 14951	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   U.cuni 3893   `'ccnv 4724   "cima 4728   -->wf 5322  (class class class)co 6021   Topctop 14748   Cn ccn 14936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-map 6822  df-top 14749  df-topon 14762  df-cn 14939

This theorem is referenced by:  cnco  14972  cnclima  14974  cnntri  14975  cnss1  14977  cnss2  14978  cncnpi  14979  cncnp2m  14982  cnrest  14986  cnrest2  14987  txcnmpt  15024  uptx  15025  txcn  15026  cnmpt11f  15035  cnmpt21f  15043  hmeocnv  15058  hmeores  15066  txhmeo  15070