Theorem cnf 13597

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U. J
iscnp2.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnf	|- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 |- X = U. J
2		iscnp2.2	. . . 4 |- Y = U. K
3	1, 2	iscn2 13593	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   U.cuni 3809   `'ccnv 4625   "cima 4629   -->wf 5212  (class class class)co 5874   Topctop 13388   Cn ccn 13578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-top 13389  df-topon 13402  df-cn 13581

This theorem is referenced by:  cnco  13614  cnclima  13616  cnntri  13617  cnss1  13619  cnss2  13620  cncnpi  13621  cncnp2m  13624  cnrest  13628  cnrest2  13629  txcnmpt  13666  uptx  13667  txcn  13668  cnmpt11f  13677  cnmpt21f  13685  hmeocnv  13700  hmeores  13708  txhmeo  13712