Theorem cnf 12215

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U. J
iscnp2.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnf	|- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 |- X = U. J
2		iscnp2.2	. . . 4 |- Y = U. K
3	1, 2	iscn2 12211	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 271	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simpld 111	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   U.cuni 3702   `'ccnv 4498   "cima 4502   -->wf 5077  (class class class)co 5728   Topctop 12007   Cn ccn 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-top 12008  df-topon 12021  df-cn 12200

This theorem is referenced by:  cnco  12232  cnclima  12234  cnntri  12235  cnss1  12237  cnss2  12238  cncnpi  12239  cncnp2m  12242  cnrest  12246  cnrest2  12247  txcnmpt  12284  uptx  12285  txcn  12286  cnmpt11f  12295  cnmpt21f  12303