ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hmeocnv GIF version

Theorem hmeocnv 12486
Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocnv (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Proof of Theorem hmeocnv
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 12485 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2 hmeocn 12484 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 eqid 2139 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2139 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 12383 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
6 frel 5277 . . . . 5 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Rel 𝐹)
72, 5, 63syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → Rel 𝐹)
8 dfrel2 4989 . . . 4 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
97, 8sylib 121 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 = 𝐹)
109, 2eqeltrd 2216 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 ishmeo 12483 . 2 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
121, 10, 11sylanbrc 413 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480   cuni 3736  ccnv 4538  Rel wrel 4544  wf 5119  (class class class)co 5774   Cn ccn 12364  Homeochmeo 12479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12175  df-topon 12188  df-cn 12367  df-hmeo 12480
This theorem is referenced by:  hmeocnvb  12497
  Copyright terms: Public domain W3C validator