Theorem hmeocnv 15533

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 15532	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		hmeocn 15531	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 15430	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		frel 5541	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 → Rel 𝐹)
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → Rel 𝐹)
8		dfrel2 5241	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
9	7, 8	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	9, 2	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		ishmeo 15530	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
12	1, 10, 11	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  ^◡ccnv 4775  Rel wrel 4781  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088   Cn ccn 15411  Homeochmeo 15526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-top 15224  df-topon 15237  df-cn 15414  df-hmeo 15527

This theorem is used by:  hmeocnvb  15544