Theorem hmeof1o2 14191

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14188	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cnf2 14088	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3	1, 2	syl3an3 1283	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X --> Y )
4	3	ffnd 5380	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F Fn X )
5		hmeocnvcn 14189	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
6		cnf2 14088	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> `' F : Y --> X )
7	6	3com12 1208	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> `' F : Y --> X )
8	5, 7	syl3an3 1283	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> `' F : Y --> X )
9	8	ffnd 5380	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> `' F Fn Y )
10		dff1o4 5483	. 2 |- ( F : X -1-1-onto-> Y <-> ( F Fn X /\ `' F Fn Y ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 979   e. wcel 2159   `'ccnv 4639   Fn wfn 5225   -->wf 5226   -1-1-onto->wf1o 5229   ` cfv 5230  (class class class)co 5890  TopOnctopon 13893   Cn ccn 14068   Homeochmeo 14183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-map 6667  df-top 13881  df-topon 13894  df-cn 14071  df-hmeo 14184

This theorem is referenced by:  hmeof1o  14192