Theorem hmeof1o2 14722

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14719	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cnf2 14619	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3	1, 2	syl3an3 1284	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X --> Y )
4	3	ffnd 5425	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F Fn X )
5		hmeocnvcn 14720	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
6		cnf2 14619	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> `' F : Y --> X )
7	6	3com12 1209	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) -> `' F : Y --> X )
8	5, 7	syl3an3 1284	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> `' F : Y --> X )
9	8	ffnd 5425	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> `' F Fn Y )
10		dff1o4 5529	. 2 |- ( F : X -1-1-onto-> Y <-> ( F Fn X /\ `' F Fn Y ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2175   `'ccnv 4673   Fn wfn 5265   -->wf 5266   -1-1-onto->wf1o 5269   ` cfv 5270  (class class class)co 5943  TopOnctopon 14424   Cn ccn 14599   Homeochmeo 14714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-map 6736  df-top 14412  df-topon 14425  df-cn 14602  df-hmeo 14715

This theorem is referenced by:  hmeof1o  14723