ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hmeoco GIF version

Theorem hmeoco 13075
Description: The composite of two homeomorphisms is a homeomorphism. (Contributed by FL, 9-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoco ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽Homeo𝐿))

Proof of Theorem hmeoco
StepHypRef Expression
1 hmeocn 13064 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 hmeocn 13064 . . 3 (𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
3 cnco 12980 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
41, 2, 3syl2an 287 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
5 cnvco 4794 . . 3 (𝐺𝐹) = (𝐹𝐺)
6 hmeocnvcn 13065 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿) → 𝐺 ∈ (𝐿 Cn 𝐾))
7 hmeocnvcn 13065 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cnco 12980 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝐿 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝐿 Cn 𝐽))
96, 7, 8syl2anr 288 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝐿 Cn 𝐽))
105, 9eqeltrid 2257 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐿 Cn 𝐽))
11 ishmeo 13063 . 2 ((𝐺𝐹) ∈ (𝐽Homeo𝐿) ↔ ((𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (𝐿 Cn 𝐽)))
124, 10, 11sylanbrc 415 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾Homeo𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽Homeo𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2141  ccnv 4608  ccom 4613  (class class class)co 5851   Cn ccn 12944  Homeochmeo 13059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-map 6626  df-top 12755  df-topon 12768  df-cn 12947  df-hmeo 13060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator