Theorem hmeores 12484

Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeores.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hmeores	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 12474	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		hmeores.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cnrest 12404	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
5	2, 4	sylancom 416	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
6		cntop2 12371	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
8		eqid 2139	. . . . . 6 |- U. K = U. K
9	8	toptopon 12185	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	7, 9	sylib 121	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		df-ima 4552	. . . . . 6 |- ( F " Y ) = ran ( F |` Y )
12	11	eqimss2i 3154	. . . . 5 |- ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) )
14		imassrn 4892	. . . . 5 |- ( F " Y ) C_ ran F
15	3, 8	cnf 12373	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
16	2, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F : X --> U. K )
17	16	frnd 5282	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran F C_ U. K )
18	14, 17	sstrid 3108	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F " Y ) C_ U. K )
19		cnrest2 12405	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
20	10, 13, 18, 19	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
21	5, 20	mpbid 146	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )
22		hmeocnvcn 12475	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
23	22	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
24	8, 3	cnf 12373	. . . . 5 |- ( `' F e. ( K Cn J ) -> `' F : U. K --> X )
25		ffun 5275	. . . . 5 |- ( `' F : U. K --> X -> Fun `' F )
26		funcnvres 5196	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
27	23, 24, 25, 26	4syl 18	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
28	8	cnrest 12404	. . . . 5 |- ( ( `' F e. ( K Cn J ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
29	23, 18, 28	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
30	27, 29	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
31		cntop1 12370	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
32	2, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. Top )
33	3	toptopon 12185	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
34	32, 33	sylib 121	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
35		dfdm4 4731	. . . . . 6 |- dom ( F |` Y ) = ran `' ( F |` Y )
36		fssres 5298	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. K /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
37	16, 36	sylancom 416	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
38	37	fdmd 5279	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> dom ( F |` Y ) = Y )
39	35, 38	syl5eqr 2186	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) = Y )
40		eqimss 3151	. . . . 5 |- ( ran `' ( F |` Y ) = Y -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
42		simpr 109	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> Y C_ X )
43		cnrest2 12405	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran `' ( F |` Y ) C_ Y /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
44	34, 41, 42, 43	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
45	30, 44	mpbid 146	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) )
46		ishmeo 12473	. 2 |- ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) <-> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) /\ `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 413	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   U.cuni 3736   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540   |` cres 4541   "cima 4542   Fun wfun 5117   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12120   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   Homeochmeo 12469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-hmeo 12470

This theorem is referenced by: (None)