Theorem hmeores 14292

Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeores.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hmeores	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14282	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		hmeores.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cnrest 14212	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
5	2, 4	sylancom 420	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
6		cntop2 14179	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
8		eqid 2189	. . . . . 6 |- U. K = U. K
9	8	toptopon 13995	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	7, 9	sylib 122	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		df-ima 4657	. . . . . 6 |- ( F " Y ) = ran ( F |` Y )
12	11	eqimss2i 3227	. . . . 5 |- ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) )
14		imassrn 4999	. . . . 5 |- ( F " Y ) C_ ran F
15	3, 8	cnf 14181	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
16	2, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F : X --> U. K )
17	16	frnd 5394	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran F C_ U. K )
18	14, 17	sstrid 3181	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F " Y ) C_ U. K )
19		cnrest2 14213	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
20	10, 13, 18, 19	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
21	5, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )
22		hmeocnvcn 14283	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
23	22	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
24	8, 3	cnf 14181	. . . . 5 |- ( `' F e. ( K Cn J ) -> `' F : U. K --> X )
25		ffun 5387	. . . . 5 |- ( `' F : U. K --> X -> Fun `' F )
26		funcnvres 5308	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
27	23, 24, 25, 26	4syl 18	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
28	8	cnrest 14212	. . . . 5 |- ( ( `' F e. ( K Cn J ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
29	23, 18, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
30	27, 29	eqeltrd 2266	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
31		cntop1 14178	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
32	2, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. Top )
33	3	toptopon 13995	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
34	32, 33	sylib 122	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
35		dfdm4 4837	. . . . . 6 |- dom ( F |` Y ) = ran `' ( F |` Y )
36		fssres 5410	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. K /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
37	16, 36	sylancom 420	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
38	37	fdmd 5391	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> dom ( F |` Y ) = Y )
39	35, 38	eqtr3id 2236	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) = Y )
40		eqimss 3224	. . . . 5 |- ( ran `' ( F |` Y ) = Y -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
42		simpr 110	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> Y C_ X )
43		cnrest2 14213	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran `' ( F |` Y ) C_ Y /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
44	34, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
45	30, 44	mpbid 147	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) )
46		ishmeo 14281	. 2 |- ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) <-> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) /\ `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   U.cuni 3824   `'ccnv 4643   dom cdm 4644   ran crn 4645   |` cres 4646   "cima 4647   Fun wfun 5229   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   ↾_t crest 12747   Topctop 13974  TopOnctopon 13987   Cn ccn 14162   Homeochmeo 14277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-cn 14165  df-hmeo 14278

This theorem is referenced by: (None)