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Theorem hmeores 13785
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 13775 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 276 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 13705 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 420 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 13672 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2177 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 13488 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 122 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4639 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3212 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 9 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 4981 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 13674 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
1716frnd 5375 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1814, 17sstrid 3166 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
19 cnrest2 13706 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2010, 13, 18, 19syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
215, 20mpbid 147 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
22 hmeocnvcn 13776 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2322adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
248, 3cnf 13674 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
25 ffun 5368 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
26 funcnvres 5289 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2723, 24, 25, 264syl 18 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
288cnrest 13705 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
2923, 18, 28syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3027, 29eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
31 cntop1 13671 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
322, 31syl 14 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
333toptopon 13488 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3432, 33sylib 122 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
35 dfdm4 4819 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
36 fssres 5391 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3716, 36sylancom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3837fdmd 5372 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
3935, 38eqtr3id 2224 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
40 eqimss 3209 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4139, 40syl 14 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
42 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
43 cnrest2 13706 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4434, 41, 42, 43syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4530, 44mpbid 147 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
46 ishmeo 13774 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4721, 45, 46sylanbrc 417 1  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   U.cuni 3809   `'ccnv 4625   dom cdm 4626   ran crn 4627    |` cres 4628   "cima 4629   Fun wfun 5210   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   ↾t crest 12687   Topctop 13467  TopOnctopon 13480    Cn ccn 13655   Homeochmeo 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-cn 13658  df-hmeo 13771
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