Theorem hmeores 14551

Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeores.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hmeores	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14541	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		hmeores.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cnrest 14471	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
5	2, 4	sylancom 420	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
6		cntop2 14438	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
8		eqid 2196	. . . . . 6 |- U. K = U. K
9	8	toptopon 14254	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	7, 9	sylib 122	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		df-ima 4676	. . . . . 6 |- ( F " Y ) = ran ( F |` Y )
12	11	eqimss2i 3240	. . . . 5 |- ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) )
14		imassrn 5020	. . . . 5 |- ( F " Y ) C_ ran F
15	3, 8	cnf 14440	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
16	2, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F : X --> U. K )
17	16	frnd 5417	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran F C_ U. K )
18	14, 17	sstrid 3194	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F " Y ) C_ U. K )
19		cnrest2 14472	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
20	10, 13, 18, 19	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
21	5, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )
22		hmeocnvcn 14542	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
23	22	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
24	8, 3	cnf 14440	. . . . 5 |- ( `' F e. ( K Cn J ) -> `' F : U. K --> X )
25		ffun 5410	. . . . 5 |- ( `' F : U. K --> X -> Fun `' F )
26		funcnvres 5331	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
27	23, 24, 25, 26	4syl 18	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
28	8	cnrest 14471	. . . . 5 |- ( ( `' F e. ( K Cn J ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
29	23, 18, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
30	27, 29	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
31		cntop1 14437	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
32	2, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. Top )
33	3	toptopon 14254	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
34	32, 33	sylib 122	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
35		dfdm4 4858	. . . . . 6 |- dom ( F |` Y ) = ran `' ( F |` Y )
36		fssres 5433	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. K /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
37	16, 36	sylancom 420	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
38	37	fdmd 5414	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> dom ( F |` Y ) = Y )
39	35, 38	eqtr3id 2243	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) = Y )
40		eqimss 3237	. . . . 5 |- ( ran `' ( F |` Y ) = Y -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
42		simpr 110	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> Y C_ X )
43		cnrest2 14472	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran `' ( F |` Y ) C_ Y /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
44	34, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
45	30, 44	mpbid 147	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) )
46		ishmeo 14540	. 2 |- ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) <-> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) /\ `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3839   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   ran crn 4664   |` cres 4665   "cima 4666   Fun wfun 5252   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ↾_t crest 12910   Topctop 14233  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   Homeochmeo 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cn 14424  df-hmeo 14537

This theorem is referenced by: (None)