Theorem hmeores 15306

Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeores.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hmeores	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 15296	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		hmeores.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cnrest 15226	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
5	2, 4	sylancom 420	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
6		cntop2 15193	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
8		eqid 2234	. . . . . 6 |- U. K = U. K
9	8	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	7, 9	sylib 122	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		df-ima 4767	. . . . . 6 |- ( F " Y ) = ran ( F |` Y )
12	11	eqimss2i 3299	. . . . 5 |- ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) )
14		imassrn 5117	. . . . 5 |- ( F " Y ) C_ ran F
15	3, 8	cnf 15195	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
16	2, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F : X --> U. K )
17	16	frnd 5523	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran F C_ U. K )
18	14, 17	sstrid 3253	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F " Y ) C_ U. K )
19		cnrest2 15227	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
20	10, 13, 18, 19	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
21	5, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )
22		hmeocnvcn 15297	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
23	22	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
24	8, 3	cnf 15195	. . . . 5 |- ( `' F e. ( K Cn J ) -> `' F : U. K --> X )
25		ffun 5516	. . . . 5 |- ( `' F : U. K --> X -> Fun `' F )
26		funcnvres 5434	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
27	23, 24, 25, 26	4syl 18	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
28	8	cnrest 15226	. . . . 5 |- ( ( `' F e. ( K Cn J ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
29	23, 18, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
30	27, 29	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
31		cntop1 15192	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
32	2, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. Top )
33	3	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
34	32, 33	sylib 122	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
35		dfdm4 4953	. . . . . 6 |- dom ( F |` Y ) = ran `' ( F |` Y )
36		fssres 5545	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. K /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
37	16, 36	sylancom 420	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
38	37	fdmd 5520	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> dom ( F |` Y ) = Y )
39	35, 38	eqtr3id 2281	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) = Y )
40		eqimss 3296	. . . . 5 |- ( ran `' ( F |` Y ) = Y -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
42		simpr 110	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> Y C_ X )
43		cnrest2 15227	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran `' ( F |` Y ) C_ Y /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
44	34, 41, 42, 43	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
45	30, 44	mpbid 147	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) )
46		ishmeo 15295	. 2 |- ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) <-> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) /\ `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   U.cuni 3919   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   ran crn 4755   |` cres 4756   "cima 4757   Fun wfun 5351   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ↾_t crest 13536   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   Cn ccn 15176   Homeochmeo 15291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cn 15179  df-hmeo 15292

This theorem is referenced by: (None)