ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccmax Unicode version

Theorem iccmax 9292
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 7481 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 pnfxr 7477 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iccval 9263 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo [,] +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 417 . 2  |-  ( -oo [,] +oo )  =  {
x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
5 rabid2 2539 . . 3  |-  ( RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } 
<-> 
A. x  e.  RR*  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
6 mnfle 9187 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
7 pnfge 9184 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_ +oo )
86, 7jca 300 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
95, 8mprgbir 2429 . 2  |-  RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
104, 9eqtr4i 2108 1  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   {crab 2359   class class class wbr 3820  (class class class)co 5607   +oocpnf 7456   -oocmnf 7457   RR*cxr 7458    <_ cle 7460   [,]cicc 9234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fv 4986  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-icc 9238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator