Theorem iccmax 9893

Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmax	|- ( -oo [,] +oo ) = RR*

Proof of Theorem iccmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 7963	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 7959	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iccval 9864	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo [,] +oo ) = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 424	. 2 |- ( -oo [,] +oo ) = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) }
5		rabid2 2646	. . 3 |- ( RR* = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) } <-> A. x e. RR* ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) )
6		mnfle 9736	. . . 4 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
7		pnfge 9733	. . . 4 |- ( x e. RR* -> x <_ +oo )
8	6, 7	jca 304	. . 3 |- ( x e. RR* -> ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2528	. 2 |- RR* = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2194	1 |- ( -oo [,] +oo ) = RR*

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   +oocpnf 7938   -oocmnf 7939   RR*cxr 7940   <_ cle 7942   [,]cicc 9835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-icc 9839

This theorem is referenced by: (None)