ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccmax Unicode version

Theorem iccmax 9978
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 8043 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 pnfxr 8039 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iccval 9949 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo [,] +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 426 . 2  |-  ( -oo [,] +oo )  =  {
x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
5 rabid2 2667 . . 3  |-  ( RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } 
<-> 
A. x  e.  RR*  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
6 mnfle 9821 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
7 pnfge 9818 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_ +oo )
86, 7jca 306 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
95, 8mprgbir 2548 . 2  |-  RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
104, 9eqtr4i 2213 1  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   {crab 2472   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895   +oocpnf 8018   -oocmnf 8019   RR*cxr 8020    <_ cle 8022   [,]cicc 9920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-icc 9924
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator