Theorem iccmax 10351

Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmax	|- ( -oo [,] +oo ) = RR*

Proof of Theorem iccmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8382	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 8378	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iccval 10322	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo [,] +oo ) = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 430	. 2 |- ( -oo [,] +oo ) = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) }
5		rabid2 2729	. . 3 |- ( RR* = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) } <-> A. x e. RR* ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) )
6		mnfle 10194	. . . 4 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
7		pnfge 10191	. . . 4 |- ( x e. RR* -> x <_ +oo )
8	6, 7	jca 306	. . 3 |- ( x e. RR* -> ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2608	. 2 |- RR* = { x e. RR* | ( -oo <_ x /\ x <_ +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2262	1 |- ( -oo [,] +oo ) = RR*

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359   <_ cle 8361   [,]cicc 10293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-icc 10297

This theorem is used by: (None)