Theorem pnfge 10208

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	|- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 10206	. 2 |- ( A e. RR* -> -. +oo < A )
2		pnfxr 8384	. . 3 |- +oo e. RR*
3		xrlenlt 8396	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
4	2, 3	mpan2 429	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   +oocpnf 8363   RR*cxr 8365   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  0lepnf  10209  xnn0dcle  10221  xnn0letri  10222  xrre2  10240  xleadd1a  10292  xltadd1  10295  xlt2add  10299  xsubge0  10300  xlesubadd  10302  xleaddadd  10306  elico2  10356  iccmax  10368  elxrge0  10397  elicore  10718  xqltnle  10719  xrmaxifle  12037  xrmaxadd  12052  xrbdtri  12067  pcdvdsb  13128  pc2dvds  13138  pcaddlem  13147  isxmet2d  15574  blssec  15664