Theorem pnfge 9792

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	|- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 9790	. 2 |- ( A e. RR* -> -. +oo < A )
2		pnfxr 8013	. . 3 |- +oo e. RR*
3		xrlenlt 8025	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   +oocpnf 7992   RR*cxr 7994   < clt 7995   <_ cle 7996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001

This theorem is referenced by:  0lepnf  9793  xnn0dcle  9805  xnn0letri  9806  xrre2  9824  xleadd1a  9876  xltadd1  9879  xlt2add  9883  xsubge0  9884  xlesubadd  9886  xleaddadd  9890  elico2  9940  iccmax  9952  elxrge0  9981  elicore  10270  xrmaxifle  11257  xrmaxadd  11272  xrbdtri  11287  pcdvdsb  12322  pc2dvds  12332  pcaddlem  12341  isxmet2d  13988  blssec  14078