Theorem pnfge 9783

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	|- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 9781	. 2 |- ( A e. RR* -> -. +oo < A )
2		pnfxr 8004	. . 3 |- +oo e. RR*
3		xrlenlt 8016	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4001   +oocpnf 7983   RR*cxr 7985   < clt 7986   <_ cle 7987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-xp 4630  df-cnv 4632  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992

This theorem is referenced by:  0lepnf  9784  xnn0dcle  9796  xnn0letri  9797  xrre2  9815  xleadd1a  9867  xltadd1  9870  xlt2add  9874  xsubge0  9875  xlesubadd  9877  xleaddadd  9881  elico2  9931  iccmax  9943  elxrge0  9972  elicore  10260  xrmaxifle  11245  xrmaxadd  11260  xrbdtri  11275  pcdvdsb  12309  pc2dvds  12319  pcaddlem  12328  isxmet2d  13630  blssec  13720