Theorem pnfge 9946

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	|- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 9944	. 2 |- ( A e. RR* -> -. +oo < A )
2		pnfxr 8160	. . 3 |- +oo e. RR*
3		xrlenlt 8172	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   +oocpnf 8139   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  0lepnf  9947  xnn0dcle  9959  xnn0letri  9960  xrre2  9978  xleadd1a  10030  xltadd1  10033  xlt2add  10037  xsubge0  10038  xlesubadd  10040  xleaddadd  10044  elico2  10094  iccmax  10106  elxrge0  10135  elicore  10446  xqltnle  10447  xrmaxifle  11672  xrmaxadd  11687  xrbdtri  11702  pcdvdsb  12758  pc2dvds  12768  pcaddlem  12777  isxmet2d  14935  blssec  15025