ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfge Unicode version

Theorem pnfge 9168
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 9166 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -. +oo  <  A )
2 pnfxr 7461 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 xrlenlt 7472 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_ +oo  <->  -. +oo  <  A
) )
42, 3mpan2 416 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_ +oo  <->  -. +oo  <  A
) )
51, 4mpbird 165 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3814   +oocpnf 7440   RR*cxr 7442    < clt 7443    <_ cle 7444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449
This theorem is referenced by:  0lepnf  9169  xrre2  9192  elico2  9264  iccmax  9276  elxrge0  9305
  Copyright terms: Public domain W3C validator