ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfge Unicode version

Theorem pnfge 9184
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 9182 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -. +oo  <  A )
2 pnfxr 7477 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 xrlenlt 7488 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_ +oo  <->  -. +oo  <  A
) )
42, 3mpan2 416 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_ +oo  <->  -. +oo  <  A
) )
51, 4mpbird 165 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3820   +oocpnf 7456   RR*cxr 7458    < clt 7459    <_ cle 7460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4416  df-cnv 4418  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465
This theorem is referenced by:  0lepnf  9185  xrre2  9208  elico2  9280  iccmax  9292  elxrge0  9321
  Copyright terms: Public domain W3C validator