Theorem pnfge 9881

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	|- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 9879	. 2 |- ( A e. RR* -> -. +oo < A )
2		pnfxr 8096	. . 3 |- +oo e. RR*
3		xrlenlt 8108	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   +oocpnf 8075   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  0lepnf  9882  xnn0dcle  9894  xnn0letri  9895  xrre2  9913  xleadd1a  9965  xltadd1  9968  xlt2add  9972  xsubge0  9973  xlesubadd  9975  xleaddadd  9979  elico2  10029  iccmax  10041  elxrge0  10070  elicore  10373  xqltnle  10374  xrmaxifle  11428  xrmaxadd  11443  xrbdtri  11458  pcdvdsb  12514  pc2dvds  12524  pcaddlem  12533  isxmet2d  14668  blssec  14758